Exercices sur les fonctions usuelles

(1)

Fonctions usuelles

Radicaux

Exercice 1 [ 01832 ][correction]

a) Etablir que pour toutx, y∈R⁺,

√y−√ x

6p

|y−x|.

b) Ce résultat est-il encore vrai en terme de racine cubique ?

Logarithmes

Etablir, pour toutx>0, l’encadrement x−1

2x²6ln(1 +x)6x

a) Montrer que, pour toutx >−1

ln(1 +x)6x b) En déduire que pour toutn∈N\ {0,1}

1 + 1

n n

6e6

1− 1 n

−n

Montrer que pour touta, b >0 1

2(lna+ lnb)6lna+b 2

Soit 0< a6b. On posef :x7→ ^ln(1+ax)_ln(1+bx) définie surR^+?. Etudier la monotonie def et en déduire que ln 1 +^a_b

ln 1 + ^b_a

6(ln 2)².

Montrer que le nombre de chiffres dans l’écriture décimale d’un entiern >0 est blog₁₀nc+ 1.

[Lemme de Gibbs]

a) Justifier

∀x >0,lnx6x−1

b) Soient (p1, . . . , pn) et (q1, . . . , qn) desn-uplets formés de réels strictement positifs vérifiant

n

X

k=1

pk =

n

X

k=1

qk = 1 Etablir

n

X

i=1

p_ilnq_i6

n

X

i=1

p_ilnp_i Dans quel(s) cas y a-t-il égalité ?

Puissances et exponentielles

Simplifiera^b poura= expx² etb=_x¹lnx^1/x.

Parmi les relations suivantes, lesquelles sont exactes :

a) (a^b)^c=a^bc b)a^ba^c =a^bc c) a^2b= (a^b)² d) (ab)^c=a^c/2b^c/2 e) (a^b)^c=a^(b^c⁾ f) (a^b)^c= (a^c)^b?

Comparer

lim

x→0⁺x^(x^x⁾et lim

x→0⁺(x^x)^x Exercice 11 [ 01836 ][correction]

Déterminer les limites suivantes :

(2)

a) lim

x→+∞x^1/x b) lim

x→0x

√x c) lim

x→0⁺x^1/x

Résoudre les équations suivantes : a) e^x+ e^1−x= e + 1 b)x

√x= (√

x)^x c) 2^2x−3^x−1/2= 3^x+1/2−2^2x−1

Résoudre les systèmes suivants : a)

(8^x= 10y 2^x= 5y b)

(e^xe^2y =a 2xy= 1

Montrer

∀x∈]0,1[, x^x(1−x)^1−x> 1 2

Résoudre le système

( a+b+c= 0 e^a+ e^b+ e^c = 3 d’inconnue (a, b, c)∈R³

Fonctions trigonométriques

Etablir que pour toutx∈R⁺, on a sinx6xet pour toutx∈R, cosx>1−^x₂².

Développer :

a) cos(3a) b) tan(a+b+c)

Calculer cos^π₈ en observant 2×^π₈ = ^π₄.

Simplifier

cosp−cosq sinp+ sinq En déduire la valeur de

tan π 24

Linéariser :

a) cos²x b) cosxsin²x c) cos²xsin²x d) cosacosb e) cosacosbcosc

Ecrire sous la formeAcos(x−ϕ) les expressions suivantes : a) cosx+ sinx b) cosx−√

3 sinx

Poura, b∈Rtels que b6= 0 [2π], calculer simultanément

n

X

k=0

cos(a+kb) et

n

X

k=0

sin(a+kb)

Soitx6= 0 [2π].

a) Montrer

sin(x) + sin(2x) +· · ·+ sin(nx) = sin^(n+1)x₂ sin^nx₂ sin^x₂ en procédant par récurrence surn∈N.

b) En exploitant les nombres complexes.

(3)

Résoudre les équations suivantes d’inconnuesx∈R.

a) cos(2x−π/3) = sin(x+ 3π/4) b) cos⁴x+ sin⁴x= 1 c) sinx+ sin 3x= 0 d) sinx+ sin 2x+ sin 3x= 0 e) 3 cosx−√

3 sinx=√

6 f) 2 sinx.cosx+√

3 cos 2x= 0

Résoudre l’équation

tanxtan 2x= 1

Calculer

4

X

k=1

cos²kπ 9

Fonctions trigonométriques réciproques

Simplifier les expressions suivantes :

a) cos(2 arccosx) b) cos(2 arcsinx) c) sin(2 arccosx) d) cos(2 arctanx) e) sin(2 arctanx) f) tan(2 arcsinx)

Simplifier la fonctionx7→arccos(4x³−3x) sur son intervalle de définition.

Simplifier

arcsin x

√ 1 +x²

Montrer que la courbe représentative de la fonction arccos est symétrique par rapport au point de coordonnées (0, π/2).

Déterminer lim

x→0+

arccos(1−x)

√x à l’aide d’un changement de variable judicieux.

Etudier les fonctions suivantes afin de les représenter :

a)f :x7→arcsin(sinx) + arccos(cosx) b)f :x7→arcsin(sinx) +1

2arccos(cos 2x) c)f :x7→arccos

r1 + cosx

2 d)f :x7→arctan

r1−cosx 1 + cosx

Simplifier :

a) arctan¹₂+ arctan¹₅+ arctan¹₈. b) arctan 2 + arctan 3 + arctan(2 +√

3).

c) arcsin⁴₅+ arcsin₁₃⁵ + arcsin¹⁶₆₅.

Résoudre les équations suivantes d’inconnuexréelle : a) arcsinx= arcsin4

5 + arcsin 5

13 b) arcsin tanx=x c) arccosx= arcsin 2x d) arctanx+ arctanx√

3 = 7π 12 e) arcsin 2x

1 +x² = arctanx f) arcsintanx 2 =x

On appelle argument principal d’un complexez non nul, l’uniqueθ∈]−π, π] tel quez=|z|e^iθ.

Montrer que siz∈C\R⁻ alorsθ= 2 arctan ^y

x+√

x²+y² avecx= Re(z) et y= Im(z).

Simplifier arctana+ arctanbpoura, b>0.

(4)

Soitp∈N. Calculer

arctan(p+ 1)−arctan(p) Etudier la limite de la suite (Sn) de terme général

S_n=

n

X

p=0

arctan 1 p²+p+ 1

Soientx₁, . . . , x₁₃ des réels. Montrer qu’il existeietj dans{1, . . . ,13} tels que i6=j et

06 x_i−x_j

1 +xixj 62−√ 3

Fonctions hyperboliques

Etablir que pour toutx∈R⁺, on a shx>xet pour tout x∈R, chx>1 + ^x₂².

Soity∈

−^π₂,^π₂

. On posex= ln tan ^y₂+^π₄ . Montrer que th^x₂ = tan^y₂, thx= siny et chx=_cos¹_y.

Pourn∈Net a, b∈R, calculer

n

X

k=0

ch(a+kb) et

n

X

k=0

sh(a+kb)

Pourn∈Net x∈R, simplifierPn(x) =

n

Q

k=1

ch ₂^xk

en calculant Pn(x)sh ₂^xn

.

Pourn∈Net x∈R^+?, observer

th((n+ 1)x)−th(nx) = shx ch(nx)ch((n+ 1)x) Calculer

S_n(x) =

n

X

k=0

1

ch(kx)ch((k+ 1)x)

Soientaetαdeux réels.

Résoudre le système d’inconnuesxet y

(chx+ chy= 2achα shx+ shy= 2ashα

Etablir :

∀x∈R,|arctan(shx)|= arccos 1

chx

(5)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

a) Quitte à échanger, on peut supposery>x.

Par élévation au carré, l’inégalité demandée équivaut ày−2√

xy+x6y−x.

Ory>xdonc√

xy>xpuisy−2√

xy+x6y−xce qui permet de conclure.

b) Quitte à échanger, on peut encore supposery>x.

Par élévation au cube, l’inégalité demandée équivaut à y−3p³

y²x+ 3p³

yx²−x6y−x.

Ory>xdoncy²x>yx² puisy−3p³

y²x+ 3p³

yx²−x6y−x.

L’étude des variations des fonctionsx7→x−ln(1 +x) etx7→ln(1 +x)−x+¹₂x² montre que celles-ci sont croissantes surR⁺, puisqu’elles s’annulent en 0, on peut conclure.

a) Posonsf : ]−1,+∞[→Rdéfinie parf(x) =x−ln(1 +x).f est dérivable, f(0) = 0 etf⁰(x) = _1+x^x .

Le tableau de variation def donnef positive.

b) D’une part

1 + 1

n ⁿ

= eⁿ^ln(1+ⁿ¹⁾6e^n×ⁿ¹ 6e et d’autre part

1−1

n −n

= e⁻ⁿ^ln(1−¹ⁿ⁾>e car

ln

1−1 n

6−1

n

On a

ln a+b

2

−1

2(lna+ lnb) = lna+b 2√

ab or

a+b=√ a²+√

b²>2√ ab donc

ln a+b 2√

ab >0

f⁰(x) = (1+ax)(1+bx) ln(1+bx)^g(x) ² avecg(x) =a(1 +bx) ln(1 +bx)−b(1 +ax) ln(1 +ax).

g(0) = 0 etg⁰(x) =abln_1+ax^1+bx >0 doncg est positive et par suitef croissante.

1

b 6¹a doncf ¹_b

6f ¹_a

ce qui donne l’inégalité voulue.

Notonsmle nombre de décimale dans l’écriture den.

On a 10^m−16n <10^mdoncm−16log₁₀n < mpuism=blog₁₀nc+ 1.

a) Une étude de la fonctionx7→lnx−x+ 1 assure l’inégalité écrite.

De plus on observe qu’il y a égalité si, et seulement si,x= 1.

b) On étudie la différence

n

X

i=1

p_ilnq_i−

n

X

i=1

p_ilnp_i=

n

X

i=1

p_ilnq_i pi

Par l’inégalité précédente

n

X

i=1

pilnqi−

n

X

i=1

pilnpi6

n

X

i=1

pi

qi

p_i −1

=

n

X

i=1

(qi−pi) = 0 De plus il y a égalité si, et seulement si,

∀16i6n, pi=qi

Cette inégalité est fameuse lorsqu’on s’intéresse à l’entropie d’une source d’information. . .

(expx²)^lnx

1/x x =x.

a) c) f)

(6)

Quandx→0⁺

x^(x^x⁾= exp(x^xlnx) = exp(exp(xlnx) lnx)→0 et

(x^x)^x= exp(xlnx^x) = exp(x²lnx)→1

a) lim

x→+∞x^1/x= 1 b) lim

x→0x

√x= 1 c) lim

x→0⁺x^1/x= 0.

a)S ={0,1}

b)S={0,1,4}

c) Obtenir 2^2x−3= 3^x−3/2 puisS ={3/2}.

a)x= 1/2, y=√ 2/5

b) Obtenir un système somme/produit enxet 2y puis le résoudre.

On a

x^x(1−x)^1−x= expϕ(x) avec

ϕ(x) =xlnx+ (1−x) ln(1−x) La fonctionϕest dérivable sur ]0,1[ et

ϕ⁰(x) = ln x

1−x

On en déduit queϕest décroissante sur ]0,1/2] puis croissante sur [1/2,1[ donc

∀x∈]0,1[, ϕ(x)>ϕ(1/2) = ln(1/2)

Il est clair que le triplet nul est solution de ce système.

Inversement, soit (a, b, c) solution. Posonsx= e^a,y = e^b de sorte que e^c= e^−(a+b)= 1/xy.

On a doncx, y >0 et

x+y+ 1 xy = 3

Poury >0 fixé, étudions la fonctionf :x7→x+y+ 1/xy.

Cette fonction est dérivable et admet un minimum strict enx= 1/√

yvalant g(y) =y+ 2/√

y.

La fonctiong est dérivable et admet un minimum strict eny= 1 valant g(1) = 3.

On en déduit que si (x, y)6= (1,1) alorsf(x, y)>3 et donc f(x, y) = 3⇒x=y= 1 On peut alors conclurea=b=c= 0.

Posonsf(x) =x−sinxdéfinie surR⁺.

f est dérivable,f⁰>0 etf(0) = 0 doncf est positive.

Posonsg(x) = cosx−1 +^x₂² définie surR.

g est deux fois dérivable,g⁰⁰>0,g⁰(0) =g(0) = 0 permet de dresser les tableaux de variation et de signe deg⁰ puis deg. On conclut gpositive.

a) cos(3a) = cos(2a+a) puis

cos 3a= 4 cos³a−3 cosa b) tan(a+b+c) = tan((a+b) +c) puis

tan(a+b+c) = tana+ tanb+ tanc−tanatanbtanc 1−tanatanb−tanbtanc−tanctana

On sait cos 2a= 2 cos²a−1 donc 2 cos²π

−1 =

√2

(7)

puis

cos²π 8 =

√2 + 2 4 et enfin

cosπ 8 =

p√ 2 + 2 2 Exercice 19 :[énoncé]

Par factorisation

cosp−cosq

sinp+ sinq =−sin^p−q₂

cos^p−q₂ =−tanp−q 2 Pourp= ^π₄ etq=^π₆ on obtient

tan π 24=

√3

2 −

√2

√ 2 2 2 +¹₂

=

√3−√

√ 2 2 + 1

a) cos²x= ¹₂cos 2x+¹₂.

b) cosxsin²x= ¹₄cosx−¹₄cos 3x.

c) cos²xsin²x= ¹₄sin²2x=¹₈(1−cos 4x) d) cosacosb= ¹₂(cos(a+b) + cos(a−b)) e) cosacosbcosc=

1

4(cos(a+b+c) + cos(a+b−c) + cos(a−b+c) + cos(a−b−c)).

a) cosx+ sinx=√

2 cos(x−π/4).

b) cosx−√

3 sinx= 2 cos(x+π/3).

En passant aux nombres complexes

n

X

k=0

cos(a+kb) +i

n

X

k=0

sin(a+kb) =

n

X

k=0

e^i.(a+kb)

Par sommation géométrique puis factorisation de l’exponentielle équilibrée

n

X

k=0

eî.(a+kb)= eî.aeî(n+1)b−1

e^ib−1 = e^i(a+nb/2)sin^(n+1)b₂ sin^b₂

Par suite

n

X

k=0

cos(a+k.b) =sin^(n+1)b₂

sin^b₂ cos(a+nb 2 )

et n

X

k=0

sin(a+k.b) = sin^(n+1)b₂

sin^b₂ sin(a+nb 2 )

a) L’hérédité de la récurrence s’obtient via : sin(n+ 1)x

2 sinnx

2 + sin(n+ 1)xsinx

2 = sin(n+ 1)x 2

sinnx

2 + 2 cos(n+ 1)x 2 sinx

2

= sin(n+ 1)x

2 sin(n+ 2)x 2 en exploitant

sinp−sinq= 2 sinp−q

2 cosp+q 2 avec

p= (n+ 2)x

2 et q= nx 2 b) Par les nombres complexes

sin(x) + sin(2x) +· · ·+ sin(nx) = Im(

n

X

k=1

e^ikx) = Im

eîx−eî(n+1)x 1−eîx

donc

sin(x) + sin(2x) +· · ·+ sin(nx) = Im

eⁱ^(n+1)x² sin^nx₂ sin^x₂

= sin(n+ 1)x 2

sin^nx₂ sin^x₂

a) L’équation étudiée équivaut à

cos(2x−π/3) = cos(x+π/4) On obtient pour solutions

x= 7π

12 [2π] etx= π 36

2π 3

(8)

b) L’équation étudiée équivaut à

cos⁴x+ sin⁴x= (cos²x+ sin²x)² soit encore

2 cos²xsin²x= 0 On obtient pour solutions

x= 0 [π/2]

c) L’équation étudiée équivaut à

2 sin 2xcosx= 0 On obtient pour solutions

x= 0 [π/2]

d) L’équation étudiée équivaut à 2 sin(2x)

cosx+1 2

= 0 On obtient pour solutions

x= 0 [π/2], x= 2π

3 [2π] etx=−2π 3 [2π]

e) L’équation étudiée équivaut à 2√

3 √

3

2 cosx−1 2sinx

=√ 6 soit encore

cos x+π

6

= cosπ 4 On obtient pour solutions

x= π

12 [2π] etx=−5π 12 [2π]

f) L’équation étudiée équivaut à 2

1

2sin 2x+

√3 2 cos 2x

= 0 soit encore

sin 2x+π

3

= 0 On obtient pour solutions

x= π

3 [π] etx=−π 6 [π]

Pourx6=^π₂ [π] etx6=^π₄ _π

2

,

tanxtan 2x= 1⇔sinxsin 2x−cosxcos 2x= 0⇔cos 3x= 0⇔x=^π₆ π 3

.

En linéarisant et en faisant quelques transformations angulaires de simplification

4

X

k=1

cos²kπ 9 =7

4

a) cos(2 arccosx) = 2 cos²(arccosx)−1 = 2x²−1.

b) cos(2 arcsinx) = 1−2 sin²arcsinx= 1−2x². c) sin(2 arccosx) = 2x√

1−x²

d) cos(2 arctanx) = 2 cos²arctanx−1 = _1+x²2 −1 = ^1−x_1+x2². e) sin(2 arctanx) = 2 sin(arctanx) cos(arctanx) =_1+x^2x2. f) tan(2 arcsinx) = 2 tan(arcsinx)

1−tan²(arcsinx)= ^2x

√1−x² 1−2x² . Exercice 28 :[énoncé]

f :x7→arccos(4x³−3x) est définie sur [−1,1].

Pourx∈[−1,1], posonsθ= arccosx, on a alors f(x) = arccos(4 cos³θ−3 cosθ) = arccos(cos 3θ).

Siθ∈[0, π/3] i.e.x∈[1/2,1] alorsf(x) = 3θ= 3 arccosx.

Siθ∈[π/3,2π/3] i.e.x∈[−1/2,1/2] alors f(x) = 2π−3θ= 2π−3 arccosx.

Siθ∈[2π/3, π] i.e. x∈[−1,−1/2] alorsf(x) = 3θ−2π= 3 arccosx−2π.

La fonctionx7→ ^√^x

1+x² est dérivable et à valeurs dans ]−1,1[ donc x7→arcsin^√ ^x

1+x² est dérivable et

arcsin x

√1 +x² ⁰

= 1

√1 +x²³ 1 q

1−_1+x^x²2

= 1

1 +x² On en déduit

arcsin x

√1 +x² = arctanx+C En évaluant enx= 0, on obtientC= 0.

(9)

Calculons arccos(x) + arccos(−x).

On a cos(arccos(x) + arccos(−x)) =−x²−(1−x²) =−1 et

arccos(x) + arccos(−x)∈[0,2π] donc arccos(x) + arccos(−x) =πce qui permet de justifier la symétrie avancée.

Quandx→0⁺ : arccos(1−x)√

x = √ ^y

1−cos(y) avecy= arccos(1−x)→0⁺. Or 1−cos(y)∼^y₂² donc arccos(1−x)√

x = √ ^y

1−cos(y)→√ 2.

a)f est 2πpériodique.

Sur [−π/2,0] : arcsin(sinx) =xet arccos(cosx) =−xdoncf(x) = 0.

Sur [0, π/2] : arcsin(sinx) =xet arccos(cos(x)) =xdoncf(x) = 2x.

Sur [π/2, π] : arcsin(sinx) =π−xet arccos(cosx) =xdoncf(x) =π.

Sur [−π,−π/2] : arcsin(sinx) =−x−πet arccos(cos(x)) =−xdonc f(x) =−2x−π.

b)f est 2πpériodique.

Sur [0, π/2],f(x) =x+x= 2x. Sur [π/2, π],f(x) =π−x+π−x= 2π−2x.

Sur [−π/2,0],f(x) =x−x= 0. Sur [−π,−π/2],f(x) =−x−π+π+x= 0.

c)f(x) = arccosq

1+cosx

2 = arccos|cos(x/2)|.f est 2πpériodique, paire, sur [0, π]

f(x) =x/2.

d)f(x) = arctanq

1−cosx

1+cosx = arctan|tanx/2|.f est 2πpériodique, paire. Sur [0, π[, f(x) =x/2. On retrouve la fonction ci-dessus.

a) Posonsθ= arctan¹₂+ arctan¹₅+ arctan¹₈. On a 06θ <3 arctan^√¹

3 =π/2 et tanθ= 1 doncθ=π/4.

b) Posonsθ= arctan 2 + arctan 3 + arctan 2 +√ 3

. On a 3 arctan 1 = ^3π₄ 6θ < ^3π₂ et tanθ=^√¹

3 doncθ= ^7π₆ . c) cos arcsin⁴₅ + arcsin₁₃⁵

=³₅¹²₁₃−⁴₅₁₃⁵ = ¹⁶₆₅ et cos ^π₂ −arcsin¹⁶₆₅

= sin arcsin¹⁶₆₅

= ¹⁶₆₅. Or arcsin⁴₅+ arcsin₁₃⁵ ∈

0,^π₂

et ^π₂ −arcsin¹⁶₆₅ ∈ 0,^π₂

d’où l’égalité arcsin⁴₅+ arcsin₁₃⁵ + arcsin¹⁶₆₅ = ^π₂

a)S={63/65}.

b)S={0}.

c)S = 1/√

5 . d)S={1}.

e)S = 0,√

3,−√ 3 . f)S={0, π/3,−π/3}.

Posonsθl’argument principal dez∈C\R⁻. On aθ∈]−π, π[, cosθ=√ ^x

x²+y² et sinθ= √ ^y

x²+y².

Posonsα= 2 arctan ^y

x+√

x²+y². On aα∈]−π, π[, t= tan^α₂ = ^y

x+√

x²+y², cosα= ^1−t_1+t2² = ^x

2+x√

x²+y² x²+x√

x²+y²+y² = √ ^x

x²+y² et sinα=_1+t^2t2 = ^y(x+

√

x²+y²) x²+x√

x²+y²+y² =√ ^y

x²+y² doncα=θ.

On a tan(arctana+ arctanb) =_1−ab^a+b donc arctana+ arctanb= arctan

a+b 1−ab

[π].

Siab= 1 alors arctana+ arctanb=π/2.

Siab <1 alors arctana+ arctanb= arctan

a+b 1−ab

. Siab >1 alors arctana+ arctanb= arctan

a+b 1−ab

+π.

Posonsθ= arctan(p+ 1)−arctan(p). Comme 06arctanp6arctan(p+ 1)< π/2 on aθ∈[0, π/2[.

De plus tanθ= _p₂_+p+1¹ donc

θ= arctan 1 p²+p+ 1 Par télescopageSn =

n

P

p=0

arctan_p2+p+1¹ = arctan(n+ 1)→π/2.

(10)

Posonsαi= arctanxi. Les réelsα1, . . . , α13 évoluent dans l’intervalle ]−π/2, π/2[.

En découpant cet intervalle en 12 intervalles contiguës de longueurπ/12, on peut affirmer que deux éléments parmi lesα1, . . . , α13 appartiennent au même intervalle (c’est le principe des tiroirs : s’il y an+ 1 chaussettes à répartir dansntiroirs, il y a au moins un tiroir contenant deux chaussettes). Ainsi, il existei6=j vérifiant

06αi−αj 6 π 12 et donc

06tan(αi−αj)6tan π 12 Or

tan(αi−αj) = xi−xj

1 +xixj

et

tan π

12 = 2−√ 3 On peut donc conclure.

Posonsf(x) = shx−xdéfinie sur R⁺. f est dérivable,f⁰ >0 etf(0) = 0 doncf est positive.

Posonsg(x) = chx−1−^x₂² définie surR.g est deux fois dérivable,g⁰⁰>0, g⁰(0) =g(0) = 0 permet de dresser les tableaux de variation et de signe deg⁰ puis deg. On conclutg positive.

th^x₂ =^e_e^xx⁻¹+1 = ^tan(^y₂⁺^π₄)−1

tan(^y₂⁺^π₄)⁺¹ =^sin(^y₂⁺^π₄)−cos(^y₂⁺^π₄)

sin(^y₂⁺^π₄)^+cos(^y₂⁺^π₄) =^sin(^π₄⁺^y₂)−sin(^π₄−^y₂)

sin(^π₄⁺^y₂)^+sin(^π₄⁻^y₂)=

sin^y₂cos^π₄

cos^y₂sin^π₄ = tan^y₂. thx=^tan

2(^y₂⁺^π₄)−1

tan²(^y₂⁺^π₄)⁺¹ = sin² ^y₂+^π₄

−cos² ^y₂+^π₄

=−cos y+^π₂

= siny.

chx= ^tan(^y2+^π₄)^+tan⁻¹(^y2+^π₄)

2 =^sin

2(^y2+^π₄)^+cos²(^y2+^π₄)

2 sin(^y₂⁺^π₄)^cos(^y₂⁺^π₄) = _sin(y+¹ π

2)= _cos¹_y. Exercice 41 :[énoncé]

Posons

C=

n

Xch(a+kb) etS=

n

Xsh(a+kb)

On a

C+S=

n

X

k=0

e^a+kb= (

e^a^1−e_1−e^(n+1)bb sib6= 0 (n+ 1)e^a sib= 0 et

C−S=

n

X

k=0

e^−(a+kb)= (

e^−a^1−e_1−e^−(n+1)b−b sib6= 0 (n+ 1)e^−a sib= 0 On en déduitC etS.

Six= 0 alorsP_n(x) = 1, sinon P_n(x)sh ₂^x_n

=. . .= ₂¹_nsh(x) donc P_n(x) =₂_n_sh(x/2^sh(x)_n₎.

Après quelques calculs

th((n+ 1)x)−th(nx) = shx

ch(nx) ch((n+ 1)x) Par télescopage

Sn(x) =

n

X

k=0

1

ch(kx)ch((k+ 1)x) = th((n+ 1)x) sh(x)

Sia <1 alorsS =∅.

Sia= 1 alorsS ={(α, α)}.

Sia >1 alors en faisant apparaître un système somme produit : S=n

(ln(a−p

a²−1) +α,ln(a+p

a²−1) +α),(ln(a+p

a²−1) +α,ln(a−p

a²−1) +α)o

Soitf :R⁺→Rdéfinie parf(x) = arctan(shx)−arccos _chx¹ . La fonctionf est continue surR⁺ et dérivable sur ]0,+∞[ . Pourx >0,

f⁰(x) = chx

1 + sh²x− shx ch²x

chx pch²x−1

= 1

chx−shx chx

1 shx= 0

(11)

Doncf est constante sur ]0,+∞[ puis surR⁺ par continuité.

Puisquef(0) = 0, on peut conclure que

∀x∈R⁺,|arctan(shx)|= arccos 1

chx

Par parité, le résultat se prolonge aussi àx∈R⁻.