Solutions aux exercices 12
cours d’introduction à la logique, printemps 2019, UniL, Philipp Blum
1. (12 points) Par la méthode de la déduction naturelle, prouvez les séquents donnés : Solution:
(a) Voici une preuve de «∀x(F x→ ¬Gx),∀x(Hx→Gx)⊢ ∀x(F x→ ¬Hx)» : 1 ∀x(F x→ ¬Gx),∀x(Hx→Gx) ⊢ ∀x(F x→ ¬Gx) prémisse 2 ∀x(F x→ ¬Gx),∀x(Hx→Gx) ⊢ ∀x(Hx→Gx) prémisse 3 ∀x(F x→ ¬Gx),∀x(Hx→Gx) F a ⊢∗ F a supposition 4 ∀x(F x→ ¬Gx),∀x(Hx→Gx) F a ⊢∗ F a→ ¬Ga de (1) avec (SU) 5 ∀x(F x→ ¬Gx),∀x(Hx→Gx) F a ⊢∗ ¬Ga de (3) et (4) avec (MP) 6 ∀x(F x→ ¬Gx),∀x(Hx→Gx) F a ⊢∗ Ha→Ga de (2) avec (SU) 7 ∀x(F x→ ¬Gx),∀x(Hx→Gx) F a ⊢∗ ¬Ha de (6) et (5) avec (MT) 8 ∀x(F x→ ¬Gx),∀x(Hx→Gx) ⊢ F a→ ¬Ha de (3) et (7) avec (PC) 9 ∀x(F x→ ¬Gx),∀x(Hx→Gx) ⊢ ∀x(F x→ ¬Hx) de (8) avec (GU) (b) Voici une preuve de «∀x(Gx→ ¬F x),∀x(Hx→Gx)⊢ ∀x(F x→ ¬Hx)» : 1 ∀x(Gx→ ¬F x),∀x(Hx→Gx) ⊢ ∀x(Gx→ ¬F x) prémisse 2 ∀x(Gx→ ¬F x),∀x(Hx→Gx) ⊢ ∀x(Hx→Gx) prémisse 3 ∀x(Gx→ ¬F x),∀x(Hx→Gx) F a ⊢∗ F a supposition 4 ∀x(Gx→ ¬F x),∀x(Hx→Gx) F a ⊢∗ Ga→ ¬F a de (1) avec (SU) 5 ∀x(Gx→ ¬F x),∀x(Hx→Gx) F a ⊢∗ ¬¬F a de (3) avec (DN) 6 ∀x(Gx→ ¬F x),∀x(Hx→Gx) F a ⊢∗ ¬Ga de (5) et (4) avec (MT) 7 ∀x(Gx→ ¬F x),∀x(Hx→Gx) F a ⊢∗ Ha→Ga de (2) avec (SU) 8 ∀x(Gx→ ¬F x),∀x(Hx→Gx) F a ⊢∗ ¬Ha de (6) et (7) avec (MT) 9 ∀x(Gx→ ¬F x),∀x(Hx→Gx) ⊢ F a→ ¬Ha de (3) et (8) avec (PC) 10 ∀x(Gx→ ¬F x),∀x(Hx→Gx) ⊢ ∀x(F x→ ¬Hx) de (9) avec (GU)
(c) Une preuve de « ∀x(F x)∨ ∀x(Gx)⊢ ∀x(F x∨Gx)» :
1 ∀x(F x)∨ ∀x(Gx) ⊢ ∀x(F x)∨ ∀x(Gx) prémisse 2 ∀x(F x)∨ ∀x(Gx) ∀x(F x) ⊢∗ ∀x(F x) supposition 3 ∀x(F x)∨ ∀x(Gx) ∀x(F x) ⊢∗ F a de (2) avec (SU) 4 ∀x(F x)∨ ∀x(Gx) ∀x(F x) ⊢∗ F a∨Ga de (3) avec (∨I) 5 ∀x(F x)∨ ∀x(Gx) ∀x(F x) ⊢∗ ∀x(F x∨Gx) de (4) avec (GU) 6 ∀x(F x)∨ ∀x(Gx) ∀x(Gx) ⊢∗ ∀x(Gx) supposition 7 ∀x(F x)∨ ∀x(Gx) ∀x(Gx) ⊢∗ Ga de (6) avec (SU) 8 ∀x(F x)∨ ∀x(Gx) ∀x(Gx) ⊢∗ F a∨Ga de (7) avec (∨I) 9 ∀x(F x)∨ ∀x(Gx) ∀x(Gx) ⊢∗ ∀x(F x∨Gx) de (8) avec (GU) 10 ∀x(F x)∨ ∀x(Gx) ⊢ ∀x(F x∨Gx) de (1,2,5,6,9) avec (∨E)
(d) Voici une preuve de « (∀x(F x) ↔ ∃x(F x)) ↔ ∃x(F x) ⊢ ¬∃x¬(F x) », en abrégeant
«(∀x(F x)↔ ∃x(F x))↔ ∃x(F x)» par «A» et «∃x¬(F x)» par «B » : 1 A ⊢ (∀x(F x)↔ ∃x(F x))↔ ∃x(F x) prémisse
2 A,B ⊢∗∃x¬(F x) supposition
3 A,B,¬F a ⊢∗¬F a supposition
4 A,B,¬F a,∀x(F x)↔ ∃x(F x) ⊢∗∀x(F x)↔ ∃x(F x) supposition 5 A,B,¬F a,∀x(F x)↔ ∃x(F x) ⊢∗(∀x(F x)↔ ∃x(F x))→ ∃x(F x) de (1) par (↔E) 6 A,B,¬F a,∀x(F x)↔ ∃x(F x) ⊢∗∃x(F x) de (4) et (5) par (MP) 7 A,B,∀x(F x)↔ ∃x(F x) ⊢∗∃x(F x) de (3) et (6) par (SE) 8 A,B,∀x(F x)↔ ∃x(F x) ⊢∗∃x(F x)→ ∀x(F x) de (4) par (↔E) 9 A,B,∀x(F x)↔ ∃x(F x) ⊢∗∀x(F x) de (7) et (8) par (MP) 10 A,B,∀x(F x)↔ ∃x(F x) ⊢∗F a de (9) par (SU)
11 A,B ⊢∗¬(∀x(F x)↔ ∃x(F x)) de (4), (10) et (3) par (RAA) 12 A,B ⊢∗∃x(F x)→(∀x(F x)↔ ∃x(F x)) de (1) par (↔E)
13 A,B ⊢∗¬∃x(F x) de (11) et (12) par (MT)
14 A ⊢ ¬∃x¬(F x) de (2), (6) et (13) par (RAA)
(e) Voici une preuve de «∀x(F x→Gx)⊢ ∀x(F x)→ ∀x(Gx)» :
1 ∀x(F x→Gx) ⊢ ∀x(F x→Gx) prémisse
2 ∀x(F x→Gx) ∀x(F x) ⊢∗ ∀x(F x) supposition 3 ∀x(F x→Gx) ∀x(F x) ⊢∗ F a→Ga de (1) avec (SU) 4 ∀x(F x→Gx) ∀x(F x) ⊢∗ F a de (2) avec (SU) 5 ∀x(F x→Gx) ∀x(F x) ⊢∗ Ga de (3) et (4) avec (MP) 6 ∀x(F x→Gx) ∀x(F x) ⊢∗ ∀x(Gx) de (5) avec (GU) 7 ∀x(F x→Gx) ⊢ ∀x(F x)→ ∀x(Gx) de (2) et (6) avec (PC)
(f) Voici une preuve de «∀x(F x→Gx)⊢ ∃x(F x)→ ∃x(Gx)» :
1 ∀x(F x→Gx) ⊢ ∀x(F x→Gx) prémisse
2 ∀x(F x→Gx) ∃x(F x) ⊢∗ ∃x(F x) supposition 3 ∀x(F x→Gx) ∃x(F x), F a ⊢∗ F a supposition 4 ∀x(F x→Gx) ∃x(F x), F a ⊢∗ F a→Ga de (1) avec (SU) 5 ∀x(F x→Gx) ∃x(F x), F a ⊢∗ Ga de (3) et (4) avec (MP) 6 ∀x(F x→Gx) ∃x(F x), F a ⊢∗ ∃x(Gx) de (5) avec (GE)
7 ∀x(F x→Gx) ∃x(F x) ⊢∗ ∃x(Gx) de (2), (3) et (6) avec (SE) 8 ∀x(F x→Gx) ⊢ ∃x(F x)→ ∃x(Gx) de (2) et (7) avec (PC)
(g) Voici une preuve de «∀x(F x∧Gx)⊢ ∀x(F x)∧ ∀x(Gx)» :
1 ∀x(F x∧Gx) ⊢ ∀x(F x∧Gx) prémisse
2 ∀x(F x∧Gx) ⊢ F a∧Ga de (1) avec (SU)
3 ∀x(F x∧Gx) ⊢ F a de (2) avec (∧E)
4 ∀x(F x∧Gx) ⊢ ∀x(F x) de (3) avec (GU)
5 ∀x(F x∧Gx) ⊢ Ga de (2) avec (∧E)
6 ∀x(F x∧Gx) ⊢ ∀x(Gx) de (5) avec (GU)
7 ∀x(F x∧Gx) ⊢ ∀x(F x)∧ ∀x(Gx) de (4) et (6) avec (∧I)
(h) Voici une preuve de «∃x(F x)∨ ∃x(Gx)⊢ ∃x(F x∨Gx)» :
1 ∃x(F x)∨ ∃x(Gx) ⊢ ∃x(F x)∨ ∃x(Gx) prémisse 2 ∃x(F x)∨ ∃x(Gx) ∃x(F x) ⊢∗ ∃x(F x) supposition 3 ∃x(F x)∨ ∃x(Gx) ∃x(F x), F a ⊢∗ F a supposition 4 ∃x(F x)∨ ∃x(Gx) ∃x(F x), F a ⊢∗ F a∨Ga de (3) avec (∨I) 5 ∃x(F x)∨ ∃x(Gx) ∃x(F x), F a ⊢∗ ∃x(F x∨Gx) de (4) avec (GE)
6 ∃x(F x)∨ ∃x(Gx) ∃x(F x) ⊢∗ ∃x(F x∨Gx) de (2), (3) et (5) avec (SE) 7 ∃x(F x)∨ ∃x(Gx) ∃x(Gx) ⊢∗ ∃x(Gx) supposition
8 ∃x(F x)∨ ∃x(Gx) ∃x(Gx), Ga ⊢∗ Ga supposition 9 ∃x(F x)∨ ∃x(Gx) ∃x(Gx), Ga ⊢∗ F a∨Ga de (8) avec (∨I) 10 ∃x(F x)∨ ∃x(Gx) ∃x(F x), Ga ⊢∗ ∃x(F x∨Gx) de (9) avec (GE)
11 ∃x(F x)∨ ∃x(Gx) ∃x(F x) ⊢∗ ∃x(F x∨Gx) de (7), (8) et (10) avec (SE) 12 ∃x(F x)∨ ∃x(Gx) ⊢ ∃x(F x∨Gx) de (1,2,6,7,11) avec (∨E)
(i) Voici une preuve de «∃x(F a→F x)⊢F a→ ∃x(F x)» :
1 ∃x(F a→F x) ⊢ ∃x(F a→F x) prémisse 2 ∃x(F a→F x) F a→F b ⊢∗ F a→F b supposition 3 ∃x(F a→F x) F a→F b, F a ⊢∗ F a supposition
4 ∃x(F a→F x) F a→F b, F a ⊢∗ F b de (2) et (3) avec (MP) 5 ∃x(F a→F x) F a→F b, F a ⊢∗ ∃x(F x) de (4) avec (GE) 6 ∃x(F a→F x) F a→F b ⊢∗ F a→ ∃x(F x) de (3) et (5) avec (PC) 7 ∃x(F a→F x) ⊢ F a→ ∃x(F x) de (1), (2) et (6) avec (SE) (j) Voici une preuve de «∃x∀y(Rxy)⊢ ∀y∃x(Rxy)» :
1 ∃x∀y(Rxy) ⊢ ∃x∀y(Rxy) prémisse
2 ∃x∀y(Rxy) ∀y(Ray) ⊢∗ ∀y(Ray) supposition 3 ∃x∀y(Rxy) ∀y(Ray) ⊢∗ Rab de (2) avec (SU) 4 ∃x∀y(Rxy) ∀y(Ray) ⊢∗ ∃x(Rxb) de (3) avec (GE) 5 ∃x∀y(Rxy) ∀y(Ray) ⊢∗ ∀y∃x(Rxb) de (4) avec (GU)
6 ∃x∀y(Rxy) ⊢ ∀y∃x(Rxy) de (1), (2) et (5) avec (SE) L’application de (SE) est légitime parce que la preuve de « ∀y∃x(Rxb)» ne dépend pas des suppositions ou prémisses, autre que le disjoint typique, dans lesquelles «a» a une occurrence.
(k) Voici une preuve de «∀x(F x→Gx)⊢ ∀x(∃y(F y∧Rxy)→ ∃y(Gy∧Rxy))» :
1 ∀x(F x→Gx) ⊢ ∀x(F x→Gx) prémisse
2 ∀x(F x→Gx) ∃y(F y∧Ray) ⊢∗ ∃y(F y∧Ray) supposition 3 ∀x(F x→Gx) ∃y(F y∧Ray), F b∧Rab ⊢∗ F b∧Rab supposition 4 ∀x(F x→Gx) ∃y(F y∧Ray), F b∧Rab ⊢∗ F b de (3) avec (∧E) 5 ∀x(F x→Gx) ∃y(F y∧Ray), F b∧Rab ⊢∗ F b→Gb de (1) avec (SU) 6 ∀x(F x→Gx) ∃y(F y∧Ray), F b∧Rab ⊢∗ Gb de (4) et (5) avec (MP) 7 ∀x(F x→Gx) ∃y(F y∧Ray), F b∧Rab ⊢∗ Rab de (3) avec (∧E) 8 ∀x(F x→Gx) ∃y(F y∧Ray), F b∧Rab ⊢∗ Gb∧Rab de (6) et (7) avec (∧I) 9 ∀x(F x→Gx) ∃y(F y∧Ray), F b∧Rab ⊢∗ ∃y(Gy∧Ray) de (8) avec (GE)
10 ∀x(F x→Gx) ∃y(F y∧Ray) ⊢∗ ∃y(F y∧Ray) de (2), (3) et (9) avec (SE) 11 ∀x(F x→Gx) ⊢ ∃y(F y∧Ray)→ ∃y(Gy∧Ray) de (2) et (10) avec (PC) 12 ∀x(F x→Gx) ⊢ ∀x(∃y(F y∧Rxy)→ ∃y(Gy∧Rxy)) de (11) avec (GU)
(l) Pour prouver «∃x(F x∧Gx),∃x(F x∧ ∀y(Gy→ ¬Rxy))⊢ ∃x(F x∧ ¬∀y(F y→Rxy))», nous adoptons :
« A» pour «∃x(F x∧Gx)»
« B» pour «∃x(F x∧ ∀y(Gy→ ¬Rxy))»
« C» pour «F b∧ ∀y(Gy→ ¬Rby)»
« D» pour «F a∧Ga»
« E» pour «∀y(F y→Rby)» La preuve sera la suivante :
1 A,B ⊢ ∃x(F x∧Gx) prémisse
2 A,B ⊢ ∃x(F x∧ ∀y(Gy→ ¬Rxy)) prémisse 3 A,B C ⊢∗ F b∧ ∀y(Gy→ ¬Rby) supposition
4 A,B C ⊢∗ ∀y(Gy→ ¬Rby) de (3) par (∧E)
5 A,B C, D ⊢∗ F a∧Ga supposition
6 A,B C, D ⊢∗ Ga→ ¬Rba de (4) avec (SU)
7 A,B C, D ⊢∗ Ga de (5) avec (∧E)
8 A,B C, D ⊢∗ ¬Rba de (6) et (7) avec (MP)
9 A,B C, D, E ⊢∗ ∀y(F y→Rby) supposition
10 A,B C, D, E ⊢∗ F a→Rba de (9) avec (SU)
11 A,B C, D, E ⊢∗ F a de (5) avec (∧E)
12 A,B C, D, E ⊢∗ Rba de (11) et (10) avec (MP) 13 A,B C, D ⊢∗ ¬∀y(F y→Rby) de (9), (8) et (12) par (RAA) 14 A,B C, D ⊢∗ F b de (3) avec (∧E)
15 A,B C, D ⊢∗ F b∧ ¬∀y(F y→Rby) de (13) et (14) avec (∧I) 16 A,B C, D ⊢∗ ∃x(F x∧ ¬∀y(F y→Rxy)) de (15) avec (GE)
17 A,B C ⊢∗ ∃x(F x∧ ¬∀y(F y→Rxy)) de (1), (5), (16) avec (SE) 18 A,B ⊢ ∃x(F x∧ ¬∀y(F y→Rxy)) de (2), (3), (17) avec (SE) 2. (2 points) Par la méthode de la déduction naturelle, prouvons les équivalences données.
Solution:
(a1) « ∃x(F x)⊢ ¬∀x¬(F x)» :
1 ∃x(F x) ⊢ ∃x(F x) prémisse
2 ∃x(F x), F a ⊢∗ F a supposition
3 ∃x(F x), F a,∀x¬(F x) ⊢∗ ∀x¬(F x) supposition 4 ∃x(F x), F a,∀x¬(F x) ⊢∗ ¬F a de (2) par (SU)
5 ∃x(F x), F a ⊢∗ ¬∀x¬(F x) de (2), (3) et (4) par (RAA) 6 ∃x(F x) ⊢ ¬∀x¬(F x) de (1), (2) et (5) par (SE) (a2) « ¬∀x¬(F x)⊢ ∃x(F x)» :
1 ¬∀x¬(F x) ⊢ ¬∀x¬(F x) prémisse
2 ¬∀x¬(F x),¬∃x(F x) ⊢∗ ¬∃x(F x) supposition
3 ¬∀x¬(F x),¬∃x(F x), F a ⊢∗ F a supposition
4 ¬∀x¬(F x),¬∃x(F x), F a ⊢∗ ∃x(F x) de (3) par (GE)
5 ¬∀x¬(F x),¬∃x(F x) ⊢∗ ¬F a de (3), (2) et (4) par (RAA) 6 ¬∀x¬(F x),¬∃x(F x) ⊢∗ ∀x¬(F x) de (5) par (GU)
7 ¬∀x¬(F x) ⊢ ¬¬∃x(F x) de (2), (1) et (6) par (RAA)
8 ¬∀x¬(F x) ⊢ ∃x(F x) de (7) par (DN)
(b1) “∃x¬(F x)⊢ ¬∀x(F x)” :
1 ∃x¬(F x) ⊢ ∃x¬(F x) prémisse
2 ∃x¬(F x),¬F a ⊢∗ ¬F a supposition
3 ∃x¬(F x),¬F a,∀x(F x) ⊢∗ ∀x(F x) supposition 4 ∃x¬(F x),¬F a,∀x(F x) ⊢∗ F a de (2) par (SU)
5 ∃x¬(F x),¬F a ⊢∗ ¬∀x(F x) de (2), (4) et (3) par (RAA)
6 ∃x¬(F x) ⊢ ¬∀x(F x) de (2) et (6) par (SE)
(b2) « ¬∀x(F x)⊢ ∃x¬(F x)» :
1 ¬∀x(F x) ⊢ ¬∀x(F x) prémisse
2 ¬∀x(F x),¬∃x¬(F x) ⊢∗¬∃x¬(F x) supposition 3 ¬∀x(F x),¬∃x¬(F x),¬F a ⊢∗¬F a supposition 4 ¬∀x(F x),¬∃x¬(F x),¬F a ⊢∗∃x¬(F x) de (3) par (GE)
5 ¬∀x(F x),¬∃x¬(F x) ⊢∗¬¬F a de (3), (2) et (4) par (RAA) 6 ¬∀x(F x),¬∃x¬(F x) ⊢∗F a de (5) par (DN)
7 ¬∀x(F x),¬∃x¬(F x) ⊢∗∀x(F x) de (6) par (GU)
8 ¬∀x(F x) ⊢ ¬¬∃x¬(F x) de (2), (1) et (7) par (RAA)
9 ¬∀x(F x) ⊢ ∃x¬(F x) de (8) par (DN)
3. (6 points) Dites si les applications données des règles de déduction naturelle pour les quan- tificateurs sont correctes. Si elles ne le sont pas, dites pourquoi.
Solution:
(a) Application de (SU) incorrecte :
1 ∀x∃z(F xz∧Gxz) ⊢ ∀x∃z(F xz∧Gxz) prémisse 2 ∀x∃z(F xz∧Gxz) ⊢ ∃z(F aa∧Gaz) de (1) par (SU) Des occurrences de deux variables différentes, « x » et « z », ont été substituées par
«a».
(b) Application de (SU) incorrecte :
1 ∀x∃z(F xz∧Gxz) ⊢ ∀x∃z(F xz∧Gxz) prémisse 2 ∀x∃z(F xz∧Gxz) ⊢ ∃z(F az∧Gbz) de (1) par (SU) La substitution de « x» par « a» n’était pas uniforme (ni celle de «x» par « b») : il faut remplacertoutesles occurrences de la même variable par la même constante.
(c) Application correcte de (GE) :
1 F ba ⊢ F ba prémisse
2 F ba ⊢ ∃y(F by) de (1) par (GE)
La constante « a» est libre pour « y » dans «F ba », puisqu’elle ne contient aucune occurrence de «y ».
(d) Application incorrecte de (GE) :
1 ∃x(F xa) ⊢ ∃x(F xa) prémisse
2 ∃x(F xa) ⊢ ∃y∃x(F xx) de (1) par (GE)
On substitue la constante individuelle «a» par une variable pour laquelle elle n’est pas libre dans la formule où elle se trouve («∃x∃x(F xx)» aurait également été incorrecte).
En outre, on substitue « a » par une variable qui n’est pas liée par le quantificateur introduit.
(e) Application incorrecte de (GU) :
1 F ab→ ∀x(Gax) ⊢ F ab→ ∀x(Gax) prémisse 2 F ab→ ∀x(Gax) ⊢ ∀y(F ay→ ∀x(Gax)) de (1) par (GU)
«a» a une occurrence dans la prémisse dont dépend la ‘preuve’ de «F ab→ ∀x(Gax)».
(f) Application incorrecte de (SE) :
1 ∃x(F xa∧Gbx) ⊢ ∃x(F xa∧Gbx) prémisse
2 ∃x(F xa∧Gbx) ⊢ F ba∧Gbb de (1) par (SE)
(SE) doit éliminer une supposition, celle du disjoint typique. Et « b » a une occurrence dans une prémisse.
