Solutions des exercices du Chapitre 6
6.1 Soit X le nombre de personnes souffrant d’hypertension dans le groupe de 4 individus.
On peut consid´erer X comme le r´esultat de quatres ´epreuves de Bernoulli, X suit donc une distribution binomiale et on ´ecrit X ∼ B(n, p) avec n= 4 et p= 0.15.
(a) Les probabilit´es cherch´ees sont
P(X = 0) = 4
0
p0(1−p)4, P(X = 1) =
4 1
p1(1−p)3,
... ...
P(X =k) = 4
k
pk(1−p)4−k.
On trouve ainsi: P(X = 0) = 0.522, P(X = 1) = 0.3684, P(X = 2) = 0.0975, P(X = 3) = 0.0114 et P(X = 4) = 0.0005
(b)
0 1 2 3 4
0.00.30.6
k
P(X=k)
(c)
0 1 2 3 4
0.00.20.40.60.81.0
k
P(X<=k)
6.2 Supposons que la direction de la rue est Nord-Sud et qu’il y a au moins deux portails au Sud et deux au Nord du premier.
Premi`ere solution. Pour que l’ivrogne se retrouve au point de d´epart, il faut que la suite de ses mouvements (N = vers le Nord; S = vers le Sud) soit une des suivantes:
N N S S
N S N S
N S S N
S S N N
S N S N
S N N S
Comme chaque suite `a probabilit´e (1/2)(1/2)(1/2)(1/2) = 1/16, la probabilit´e que l’ivrogne se retrouve au point de d´epart est 6/16 = 3/8.
Deuxi`eme solution. Soit Xi une variable al´eatoire qui vaut 1 lorsque l’ivrogne part dans un sens apr`es la i`eme tentative et −1 s’il part dans le sens contraire. On peut consid´erer la marche de l’ivrogne comme r´esultat de quatres ´epreuves. En posant S4 = X1+X2+ X3+X4, cela revient `a trouver P(S4 = 0). Les cas favorables sont
{(1,−1,1,−1), (−1,1,1,−1), (1,1,−1,−1), (−1,−1,1,1), (1,−1,−1,1), (−1,1,−1,1)}.
Avec P(Xi = 1) = P(Xi = −1) = 1/2 et si on suppose l’ind´ependance des variables al´eatoires Xi, on a P(S4 = 0) = 6×(1/2)4 = 0.375.
Troisi`eme solution. Consid´erons quatre d´eparts. Soit X la variable al´eatoire qui indique, sur ces quatre d´eparts, le nombre de fois o`u l’ivrogne est parti vers le Nord. Cette variable
`a une distribution binomiale B(n = 4, p = 1/2). Pour que l’ivrogne se retrouve au point de d´epart, il faut que X = 2 et
P(X = 2) = 4
2
p2(1−p)2 = 4×3×2×1
2×1×2×1(1/2)4 = 3/8.
6.3 La variable al´eatoire X1 est le nombre de succ`es dans n1 ´epreuves ind´ependantes de Bernoulli avec la mˆeme probabilit´e p de succ`es. La variable al´eatoireX2 est le nombre de succ`es dansn2 ´epreuves ind´ependantes de Bernoulli avec la mˆeme probabilit´ep de succ`es.
Donc, Y = X1+X2 est le nombre de succ`es dans les n1+n2 ´epreuves ind´ependantes de Bernoulli avec la mˆeme probabilit´ep de succ`es. On conclut que Y ∼ B(n1+n2, p).
6.4 Soit X la quantit´e mise en bouteille (en cl). Donc X ∼ N(µ, σ2= 4).
(a) µ= 101;
P(X < 100) = P((X−101)/2 < (100−101)/2) = P(Z < −1/2) = Φ(−1/2) o`u Z = (X−101)/2 ∼ N(0,1), et Φ est la fonction de distribution cumulative de la distribution normale centr´ee r´eduite. Grˆace `a la sym´etrie de la densit´e normale, Φ(−1/2) = 1−Φ(1/2) et, `a l’aide d’une table ou du logiciel R, on trouve Φ(1/2) = 0.6915. Donc, P(X <100) = 1−0.6915 = 0.3081.
(b) µ= 102;
P(X <100) =P((X−102)/2<(100−102)/2) = Φ(−1) = 1−Φ(1) = 0.1587.
(c) µ= 103;
P(X <100) =P((X−103)/2<(100−103)/2) = Φ(−3/2) = 1−Φ(3/2) = 0.0668.
6.5 SoientX1,X2 etX3 les variables al´eatoires qui repr´esentent les quantit´es de potassium contenues dans les trois verres et soit T =X1+X2+X3. On supposera queX1,X2 etX3
sont ind´ependantes. On obtient:
µ(T) =µ(X1) +µ(X2) +µ(X3) = 21mg,
σ2(T) =σ2(X1) +σ2(X2) +σ2(X3) = 3·(0.4mg)2 = 0.48mg2, σ(T) =p
0.48mg2 = 0.69282mg.
