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Déduction Naturelle

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Université Paris Diderot - Licence 3 Année 2011-2012

TD de Logique n

o

4

Déduction Naturelle

Déduction Naturelle

Exercice 1 En utilisant `

DNprop

, montrez les propriétés suivantes : 1. ` (p ∨ q) → (q ∨ p)

2. (À faire chez vous) ` (p ∨ (q ∧ r)) → (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) 3. (À faire chez vous) ` ((p → q) ∧ (p → ¬q)) → ¬p 4. ` ¬(p ∨ q) → (¬p ∧ ¬q)

5. ` (¬p ∨ q) → p → q

6. ` (p → q) → (¬p ∨ q) (On pourra s'aider du tiers exclus, vu en cours) 7. (À faire chez vous) ` ¬(p ∧ q) → (¬p ∨ ¬q)

Équivalence entre déduction naturelle et système de Hilbert

Notons F

¬,∨

l'ensemble des formules propositionnelles construites à partir des seuls connecteurs

¬ et ∨ et DN

¬,∨

le sous-système de DN

prop

pour l'ensemble F

¬,∨

. On va travailler dans cette partie sur DN

¬,∨

et H

prop

.

Exercice 2

1. Donnez une dérivation du séquent p ∨ q `

DN¬,∨

q ∨ p .

2. Transformez cette dérivation en une dérivation dans le système H

prop

.

3. (À faire chez vous) Donnez une dérivation du séquent (p ∨ q) ∨ r `

DN¬,∨

p ∨ (q ∨ r) . 4. (À faire chez vous) Transformez cette dérivation en une dérivation dans le système H

prop

. 5. Montrez que pour toute formule A ∈ F

¬,∨

et tout ensemble ni ∆ de formules de F

¬,∨

:

si ∆ `

DN¬,∨

A , alors ∆ `

Hprop

A .

6. (À faire chez vous) Donnez une dérivation du séquent `

DN¬,∨

¬p ∨ p .

7. (À faire chez vous) Montrez l'équivalence des systèmes DN

prop

et H

prop

, i.e. montrez que pour toute formule A et tout ensemble de formule ∆ , on a :

• si ∆ `

DNprop

A , alors ∆ `

Hprop

A .

• si ∆ `

Hprop

A , alors ∆ `

DNprop

A .

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