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Endormorphismes induits — Prop : F SEV stable par u alorsu|F ∈L(F

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Academic year: 2022

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Leçon 154- Sous-espaces stables par un endomorphismes ou une famille d’endomorphismes. Applications.

I. Sous-espaces stables.[1]

1. Définitions

— Déf : F stable par u⇒u(F)⊂F

— Exemple : Ker(u) et Im(u) sont des sous espaces stables

— Exemple : Les sous espaces propres de u sont stables par u 2. Endormorphismes induits

— Prop : F SEV stable par u alorsu|F ∈L(F)

— Prop : F stable alorsMatB(u)=

A C

0 B

— Prop :πu|F|πu

— Prop :πu=ppcm(πu1,πu2)

— Prop :u diago alorsu|F est diago II. Applications à la réduction

1. Réduction simultanée [2]

— Prop : Endomorphismes qui commutent ..

— Thm de diagonalisation simultanée 2. Lemme des noyaux [3]

— Thm de décomposition des noyaux

— Application à la carctérisation de la diagonalisation

— Exemple : Projecteur

— Dev 1 : Décomposition de Dunford

III. Endomorphismes remarquables [3]

1. Endomorphismes semi simples

— Déf : Endomorphismes semi simples

— Dev 2 : Endomorphismes semi simples 2. Endomorphismes auto-adjoints

— Déf : endomorphismes auto adjoints

— Diagonalisation des endomorphismes auto adjoints

Bibliographie :

— 1- Objectif agrég

— 2- Gourdon : Algèbre

— 3- Rombaldi : Algèbre et géométrie

1

Références

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Compléter les pointillés de la définition ci-dessus en choisissant le mot qui convient parmi les deux propositions suivantes1.