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Montrez que G\×H

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Academic year: 2022

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THÉORIE ANALYTIQUE DES NOMBRES EXERCICES 4

Exercice 1. Soient G, H des groupes abéliens nis. Montrez que G\×H ∼= ˆG×H.ˆ

Exercice 2. Montrez que Gˆˆ ∼=G. (Pensez à plonger G dans Gˆˆ).

Exercice 3.

(1) Explicitez L(s, χ0) pour N = 2,3.

(2) Explicitez L(s, χ) pour N = 3,4, lorsque χ 6= χ0. Montrez directement que L(1, χ)6= 0.

(3) Pour N = 4, et χ6=χ0, montrez que L(1, χ) = π/4.

Exercice 4. Montrez que le seul caractère réel non trivial de F∗p est n7→

n

p

.

Exercice 5. Montrez que

2

p

= (−1)p

2−1 8 .

Exercice 6. Expliquez pourquoi le crible d'Ératostène fonctionne.

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