• Aucun résultat trouvé

Si G est ni, montrez que |φ(g

N/A
N/A
Info
Télécharger
Protected

Academic year: 2022

Partager "Si G est ni, montrez que |φ(g"

Copied!
1
0
0

Chargement.... (Voir le texte intégral maintenant)

Texte intégral

(1)

THÉORIE ANALYTIQUE DES NOMBRES EXERCICES 2

Exercice 1. Soit φ un homomorphisme d'un groupe G vers C∗. Si G est ni, montrez que |φ(g)|= 1 pour chaque g ∈G. Donnez un exemple montrant que ceci n'est pas necessairement

vrai si G est inni.

Y a-t-l des groupes innis pour lesquelles ceci reste vrai ?

Exercice 2. Soit G un groupe abélien ni. Montrez que l'ensemble de ses caractères est ni.

Exercice 3. Soit G un groupe abélien ni. Montrez que l'ensemble Gˆ de ses caractères est aussi un groupe abélien lorsque muni du produit ponctuel :étant donnés χ, η ∈Gˆ,χ·η:G→C∗ est déni par

(χ·η)(g) =χ(g)η(g).

Exercice 4. On note

T={z ∈Z : |z|= 1}

muni de sa structure multiplicative. Soit f :R/TZ→T un homomor- phisme de groupe.

Montrez que si f est continue, alors il existek ∈Z tel que f(x) = exp

2πikx T

∀x.

Si f n'est pas continue, est-ce que cette armation reste vraie ?

1

Références

Télécharger maintenant ( PDF - 1 Page - 76.55 KB )

Documents relatifs

Exercice sur la dérivation 1. Exercice (a) La fonction g

Déterminer les limites de f aux bornes de son intervalle de définition, le tableau de variation de f et donner une valeur approchée de f (α) à 0,01

Montrer que ∀φ∈F∗, g∗(φ) =f∗(A∗φ)

Montrer que f est égale au suprémum de ses minorantes anes continues.. En déduire que f est convexe et

Exercice 1 : Partie A : 1. g

Les suites sont donc adjacentes et convergent vers la même

2) Montrez que les sous-groupes de Sylow d’un groupe G de cardinal 45 sont distingu´es

UNIVERSITE PIERRE ET

3. Homomorphismes de groupes. Définition : Soit (G, ?) et (G,⊗) deux groupes. Soit f : G → H une application. On dit que f est un homomorphisme (ou un morphisme) de groupes si ∀g ∈ G, ∀g

Nous allons montrer que toute permutation peut se décomposer en produit de cycles disjoints, et aussi en produit de transpositions..

EXERCICE 6 (Bonus, si tout le reste a ´ et´ e fait...)

le d´ enominateur est strictement positif et le num´ erateur ´ egalement vu qu’il s’agit d’une somme de deux exponentielles... Dans la suite du sujet, la r´ eciproque de

Montrez que G\×H

Expliquez pourquoi le crible d'Ératostène

Dans tout le problème, on dira que x est un point xe de g si et seulement si g(x) = x . 1. a. On suppose que g est k -lipschitzienne dans I .

Lorsque les deux inégalités sont strictes, on peut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à ϕ entre a et b.. Elle converge donc vers 0 ce qui permet d'appliquer le