II.2Commenttrouver y si g estuneexponentielle II.1Commenttrouver y si g estunpolynôme IIRecherched’unesolutionparticulière y IDequois’agit-il?

P²

:

EDL d’ordre 1 à coefficents constants : second membre non constant _2015-2016

I De quoi s’agit-il ?

Il s’agit dans ce document de proposer des exemples de résolution d’équations différentielles linéaires à coefficients constants avec un second membre non constant.

y

− my = g(x) où g est une fonction définie sur R.

Ce document complète le doc 4 dans lequel seules les équations avec second membre constant ont été abordées.

Néanmoins le principe vu dans le doc 4 s’applique

= ⇒

équation homogène associée

(E) (E

)

y

− my = g(x) y

− my = 0 S : ensemble S

: ensemble des solutions des solutions Je sais que S

= {x 7−→ λe

, λ ∈ R}

Pour trouver toutes les solutions de (E), il faut et il suffit de :

• trouver une solution y

de (E) que l’on qualifiera de solution particulière ;

• puis de l’ajouter à toutes les solutions de (E

), c’est à dire les fonctions de S

. En d’autres termes,

S = {y

+ f

, f

∈ S

}

II Recherche d’une solution particulière y _P

II.1 Comment trouver y

si g est un polynôme

Considérons l’équation différentielle y

− my = P

(x) (E) où P

est un polynôme de degré n (n est le plus grand exposant de x)

• Si m 6= 0, (E) a une solution particulière de la forme y

: x 7→ Q

(x) ;

• Si m = 0, (E) a une solution particulière de la forme y

: x 7→ xQ

(x) ; où Q

est un polynôme de degré n.

exemple à la page 2.

II.2 Comment trouver y

si g est une exponentielle

Considérons l’équation différentielle y

− my = e

(E) où α ∈ R est un nombre réel.

• Si α 6= m, (E) a une solution particulière de la forme y

: x 7→ k

e

;

• Si α = m, (E) a une solution particulière de la forme y

: x 7→ k

xe

; exemple à la page 2.

Remarque 1 La méthode se généralise si l’équation est de la forme : y

− my = ce

avec c ∈ R ou encore y

− my = P

(x)e

où P

est un polynôme de degré n.

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Exemples

Équation : y ^′ − y = x ² (E)

S = . . .

(E ₀ ) : . . .

Composition de S ₀

y _P : x 7→ . . .

S = {y P + f _λ , f _λ ∈ S ₀ }

Équation : y ^′ + 3y = e ^−3x (E)

S = . . .

(E 0 ) : . . .

Composition de S ₀

y _P : x 7→ . . .

S = {y P + f _λ , f _λ ∈ S ₀ }

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II.3 Comment trouver y

si g est un cosinus ou un sinus

Considérons l’équation différentielle y

− my = cos(ωx) (E) ou y

− my = sin(ωx) (E) avec ω ∈ R.

L’équation (E) admet une solution particulière de la forme

y

: x 7→ k

cos(ωx) + k

sin(ωx) Les constantes k

et k

seront déterminées en résolvant un système.

Voir exemple page 4.

II.4 Principe de superposition

Il se peut que la fonction g du second membre ne soit pas de la forme de celles vues précédemment.

S’il est possible de décomposer la fonction g en fonctions « plus simples » (polynôme, exponentielle, cosinus et(ou) sinus, ... ), on applique le principe de superposition :

Si g(x) = c

g

(x) + . . . + c

g

(x) , où chaque fonction g

est une fonction de la forme de celles vues précé- demment, on peut chercher une solution particulière y

de chaque équation (E

) : y

− my = g

(x) en appliquant les méthodes précedéntes.

La fonction y

= c

y

+ . . . + c

y

est une solution particulière de (E).

Voir exemple pages 3. et 4.

Équation : y ^′ + y = 2(e ^x + e ^−x ) (E)

S = . . .

(E ₀ ) : . . .

Composition de S ₀

y _P : x 7→ . . .

S = {y P + f _λ , f _λ ∈ S ₀ }

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Exemples

Équation : y ^′ − 4y = 2 cos(3x) (E)

S = . . .

(E ₀ ) : . . .

Composition de S ₀

y _P : x 7→ . . .

S = {y P + f _λ , f _λ ∈ S ₀ }

Équation : 2y ^′ − 3y = sin ² (x) (E)

S = . . .

(E 0 ) : . . .

Composition de S ₀

y _P : x 7→ . . .

S = {y P + f _λ , f _λ ∈ S ₀ }

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