Exercice sur la dérivation 1. Exercice (a) La fonction g

Exercice sur la dérivation

1. Exercice

(a) La fonctiong est définie surR par :g(x) =x³−3x−4 i. Étudier le sens de variation de g surR.

ii. Démontrer que l’équationg(x) = 0 admet une unique solution surRque l’on appellera α.

Donner une valeur approchée à 0,01 près de α.

En déduire le signe de g(x)

(b) Soitf la fonction définie sur ]1; +∞[par : f(x) =x³+ 2x² x²−1 i. Démontrer quef⁰ a le même signe queg sur]1; +∞[

ii. Déterminer les limites def aux bornes de son intervalle de définition, le tableau de variation de f et donner une valeur approchée de f(α) à 0,01 près.

iii. Montrer que pourx∈]1; +∞[,f(x) =x+ 2 + x+ 2 x²−1.

On note Cla courbe représentative de la fonctionf dans un repère orthonormal.

En déduire que la droite ∆d’équation y=x+ 2 est une asymptote oblique àCen +∞. iv. Déterminer une équation de la tangente à Cau point d’abscisse 2.

v. Construire C, ses asymptotes et les tangentes àCaux points d’abscisseα et 2.

1. Solution

(a) La fonctiong est définie surR par :g(x) =x³−3x−4 i. Pour tout x de R,g⁰(x) = 3x²−3 = 3(x−1)(x+ 1)

x −∞ −1 1 +∞

g⁰(x) + 0 − 0 +

g(x)

−2

−6

ii. D’après la question précédente, sur l’intervalle]− ∞; 1], le maximum degestg(−1) =−2 et l’équation n’a donc aucune solution sur cet intervalle.

Sur [1; +∞[,gest continue (car dérivable) et strictement croissante.

g(1) = −6 , lim

x→+∞g(x) = lim

x→+∞x³ = +∞ et 0 ∈ [−6; +∞[ D’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation g(x) = 0 a une seule solution α dans l’intervalle [1; +∞[,g(2,19)≈ −0,066 etg(2,20)≈0,048 on a alors α≈2,20

x −∞ α +∞

signe de g(x) − 0 +

(b) Soitf la fonction définie sur ]1; +∞[par : f(x) = x³+ 2x² x²−1 i. f est dérivable sur ]1; +∞[et, pour tout xde ]1; +∞[,

on trouve après simplification :f⁰(x) = x×g(x) (x²−1)²

1

ii.

x 1 α +∞

f⁰(x) − 0 +

f(x)

+∞

f(α)≈5,29

+∞

iii. Pour x∈]1; +∞[,x+ 2 + x+ 2

x²−1 = (x+ 2)(x²−1) +x+ 2

x²−1 =f(x).

x→+∞lim (f(x)−(x+ 2)) = lim

x→+∞

x+ 2

x²−1 = lim

x→+∞

1 x = 0 donc ∆est bien une asymptote oblique à Cen +∞. iv. On trouve y=−4

9x+56 9 v. Graphique de la fonction

C Gerlein Maths Outils