Exercice 1 :
Partie A :
1. g est dérivable surRcomme somme de telles fonctions. Sa dérivée estg0(x) =ex−1.
Ainsi,g0(x) = 0si et seulement siex≥1,donc si et seulement six≥0la fonction exponentielle étant strictement croissante.
g est donc décroissante surR− et croissante surR+.Sa courbe présente donc un minimum de coordonnées (0; 0). On en déduit que pour tout nombre réelx, g(x)≥0.
2. Ainsi,∀x∈R, ex−x−1≥0⇒ ex−x≥1⇒ex−x >0.Donc ∀x∈R, ex−x >0.
Partie B : 1.a-f(x) = x
ex−x est définie surRDe plus, pour toutx6= 0, f(x) = x x
µex x −1
¶= 1 ex
x −1 .
Or
( lim
x→−∞ex= 0
x→−∞lim x=−∞ ⇒ lim
x→−∞
ex
x = 0⇒ lim
x→−∞
1 ex
x −1
=−1d’après les théorèmes généraux sur les limites.
Donc lim
x→−∞f(x) =−1 On admet de plus que lim
x→+∞f(x) = 0 (encore impossible en ce mois d’octobre).
1.b. On déduit de ce qui précède que les droites d’équationsy= 0ety=−1sont asymptotes à la courbe.
2.a. f est dérivable surRcomme quotient de telles fonctions, le dénominateur ne s’annulant pas. Sa dérivée est : f0(x) =ex−x−xex+x
(ex−x)2 ⇒ f0(x) =ex(1−x) (ex−x)2
2.b. ex et(ex−x)2 étant positifs,f0 est du signe de 1−x.D’où le tableau de variations ci-dessous:
3.a. L’équation de la tangente au point d’abscisse x0 est : y=f(x0) + (x−x0)f0(x0)donc ici y=x 3.b. La position de(C)par rapport à(T)est donnée par le signe def(x)−x
Orf(x)−x= x
ex−x−x⇒f(x)−x= x−x(ex−x) ex−x
On a donc en factorisant le numérateur,f(x)−x= −x(ex−x−1) ex−x . Or d’après la partie A,∀x∈R,
½ ex−x−1≥0
ex−x >0 . f(x)−xest donc du signe de−x.
(C)est donc au-dessus de(T)pour x≤0,et au dessous pourx≥0.
1/(1-e)
-1 -1 f '( x )
f ( x )
− ∞ 1 + ∞
− 0 +
x
Tableau de variation questopA.2.b.
-2 -1 1 2 3 4
-1 1
Exercice 2 :
1. On calcule facilementu1=3 + 4
2 = 6 ; u2=6 + 10
2 = 8 ; v1=6 + 4
2 = 5 ; v2=8 + 10 2 = 9.
2.a. wn+1=vn+1−un+1⇒wn+1= un+1+vn−un−vn
2 doncwn+1= un+1−un 2
Orun+1= un+vn
2 doncwn+1=
un+vn
2 −vn
2 ⇒wn+1= 1 2
µun+vn−2vn
2
¶
⇒wn+1= 1 2
µun−vn
2
¶ On a donc bienwn+1=1
4wn qui prouve que(wn)est une suite géométrique de raison 1 4.
2.b. On en déduit que wn=w0× µ1
4
¶n
donc wn = 1
4n et lim
n→+∞wn= 0,limite d’une suite géométrique dont la raison est dans l’intervalle]−1; 1[.
3. un+1−un= vn−un
2 =wn
2 qui est donc du signe dewn.
Or,∀n∈N, wn >0.(cela semble évident, mais est-ce réellement un théorèmes de cours ... non) Par récurrence: Initialisation : w0= 1>0
Hérédité : Supposonswn>0. Alors,wn+1= wn 4 >0.
La propriété est vraie pourn= 0.La supposant vraie à l’ordren,on montre qu’elle l’est aussi à l’ordren+ 1.Elle est donc vraie pour toutn.
Ainsi,un+1−un=wn
2 est positif et la suite(un)est croissante.
De la même manière, vn+1−vn=un+1+vn
2 −vn ⇒vn+1−vn =−1
4 wn qui est négatif.
La suite(vn)est donc décroissante.
De plus, lim
n→+∞(vn−un) = lim
n→+∞wn = 0.Les suites sont donc adjacentes et convergent vers la même limite.
4.a. ∀n∈N: tn+1=1 3
⎛
⎜⎝un+vn
2 + 2
un+vn 2 +vn
2
⎞
⎟⎠⇒tn+1=1 3
µun+vn+un+ 3vn
2
¶
⇒tn+1= 1
3(un+ 2vn)
On a donc bien, pour toutn, tn+1=tn qui prouve bien que(tn)est une suite constante. Ainsi,∀n∈N, tn=t0=11 3. Or Or,(un)et(vn)convergeant vers une même limiteL,d’après les théorèmes généraux sur les limites de suites, lim
n→+∞tn= L+ 2L
3 c’est à dire lim
n→+∞tn =L. La suite(tn)étant constante, sa limite est 11
3 et on a doncL= 11 3. Ainsi, lim
n→+∞un= lim
n→+∞vn=11 3
