Corrigé des suites adjacentes Partie A Si n = 3 , k varie de 0 à 8 et donc , , , … , D’où la figure : Les rectangles R

Corrigé des suites adjacentes

Partie A

Si n = 3 , k varie de 0 à 8 et

16



a_k  k donc a₀ 0 ,

1 16

  a ,

8 16 2

2



 



a , … ,

8 2

 a D’où la figure :

Les rectangles R_k sont en bleu et les rectangles r_k sont en rose

Partie B

1) Il y a 2ⁿ1 rectangles R_k

2) Commençons par déterminer l’aire d’un rectangle quelconque Rk . On dit clairement dans la construction que R_k est de hauteur sin(a_k) et la largeur étant

1 1 1 1

2 2 2

) 1 (





  _k  _n  _n  _n

k

k a k

a   

on a donc l’aire d’un rectangle égale à



 







1 1

sin 2

2^{n n}

k



On a donc



^

   



 



^{2 1} 

0

1 1sin 2 2

n

k

n n n

U  k

( on peut partir de k = 1 ou de k = 0 car pour k = 0 , la valeur est 0 )

On peut un peu simplifier :



^

 

 



 



 ^{2 1} 

0

1

1 sin 2

2

n

k

n n n

U  k

3) 



 



      





 



 ^  _{   } ^ _

 

  ²



^{ 1 2 2 2 2 1 2}

0

2 1 2

2 ) 1 2 sin( 2 ...

sin 3 2

sin 2 sin2

0 2 sin

sin 2 2

1

n n n

n n

n k

n n n

n k

U       



 



         

 _{ } ^ _{  } ^ _

 2

1 2

2 2

1 2

1 2

2 ) 1 2 sin ( 2 ...

sin 3 sin 2

2 ) 2 2 ( sin 2 2 ...

sin 2 0

2 sin

ⁿ

n n

n n

n n

n n

U

     

 





 



  





^







 



 

1 2

0

1 2

0

2 2

1 2

2 ) 1 2 sin( 2

sin 2 2

n n

k k

n n

n n

k

U  k  

Corrigé des suites adjacentes

4) On a 2k + 1 > 2k donc

 

^

 



  ^{2 1}

0

2 1

2

0

2 2

) 2 sin( 2

) 1 2 sin(

n n

k

n k

n

k

k  

donc







 



^

 

 

1 2

0

2 1 2

2 ) 2 sin( 2 2

n

k

n n n

U  k 

ou encore



^

 

   ^{2 1} 0

1 1 1

sin2 2

n

k

n n n

U  k

c'est-à-dire

n

n U

U _1 pour tout n entier non nul

Partie C

1) Par le même raisonnement que dans la partie B :





  



 

  



n n

k

n n

k

n n n

k V k

2

1

1 1

1 2

0

1

1 sin2

2 2

) 1 sin( 2







 .

2) On écrit alors







  









  



   

^

 

 

 



 



 

1 2

0

2 2

1

2 2

2

1

1 2

0

2 2

1 2

2 ) 2 2 sin( 2

) 2 sin( 2

2 ) 1 2 sin( 2

) 2 sin( 2

n n

n n

k

n k

n n

k k

n n

n n

k k

k

V  k     







  



 

^

 

 

 

1 2

0

1 2

1

1 1 2

2 ) 1 sin( sin2

2

n n

k

n k

n n n

k

V  k 







 



 

 

 

 

n n

k

n k

n n n

k V k

2

1

1 2

1

1 1 2

sin2 sin2

2





 donc _







 



 

 

n

k

n n n

V k

2

1

1 1 2

sin2 2 2



 c'est-à-dire

n

n V

V _1 pour tout entier n non nul

Partie D

On pose





  n

n

k ik

n e

W

2

1 2 ¹



: c’est la somme des termes d’une suite géométrique de raison

2^n1

i

e



d’où :



















 































 

 

























































2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

sin2 2

1 1

1 1

2

2 2 2 1

1 1

1

n i

i i i

i i

i i i

n

i e i

e e

e e e

e e e

W ⁿ

n n n n

n n

n

n











 









 



 

  _{ }



2 2

2

sin2 cos2

sin2 2

) 1 (

n n

n

n i i

W  



Or _



 



 

































 



 _{ }













 2 2

2 2

2 2 2

2

1 cos2

sin2 sin2

2 sin2

cos2 sin2

) 2

2 Im( ^{n n}

n n

n n n

n n

n n W

V  









 



Posons x = ₂ 2^n

 alors lim 0



 x

n et 1

limsin

0 

 x

x

x , limsin 0

0 

 x

x et limcos 1

0 

 x

x

On a donc lim 1



 n

n V

La limite commune des deux suites est donc 1 Par le théorème des gendarmes , A = 1