Exercice 1 : Suites
On considère la suite (𝑢#) définie pour tout 𝑛 entier par 𝑢#&' = ')𝑢# − 1 et 𝑢, = 2 1) a) Calculer 𝑢' et 𝑢)
b) En déduire que (𝑢#) n’est ni arithmétique, ni géométrique.
2) Soit (𝑣#) la suite définie pour tout 𝑛 entier par 𝑣# = 𝑢#+ 2
a) Montrer que (𝑣#) est géométrique. On précisera sa raison et son 1er terme.
b) Déterminer l’expression de 𝑣# en fonction de 𝑛 pour tout entier 𝑛.
c) En déduire l’expression de 𝑢# en fonction de 𝑛.
3) Déterminer lim
#→&4𝑢#. On justifiera la réponse.
Exercice 2 : Complexes
Soit (𝐸) l’équation 𝑧)− 3𝑧 + 3 = 0
1) Résoudre (𝐸) dans l’ensemble des complexes ℂ.
2) Appelons 𝑧' la racine dont la partie imaginaire est positive. On vérifiera que 𝑧' =:
)+;√:
a) Calculer |𝑧'| )
b) En déduire que 𝑧' = √3𝑒?@A
Exercice 3 : Étude de fonction
Soit 𝑓 la fonction définie par 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥.
a) Déterminer le domaine 𝐼 de définition de 𝑓.
b) Déterminer l’expression de la dérivée 𝑓F(𝑥) pour tout 𝑥 ∈ 𝐼.
c) Dresser le tableau de variations de la fonction 𝑓 sur 𝐼 (on ne demande pas de limites).
d) Quelle est l’équation de la tangente à la courbe représentative de 𝑓 au point d’abscisse 𝑒 ?
Exercice 4 : Probabilités conditionnelles
Un sujet commun de Sciences Physiques est créé par l'un des trois professeurs X, Y et Z, avec les probabilités suivantes : 𝑃(𝑋) = 0,35, 𝑃(𝑌) = 0,40 et 𝑃(𝑍) = 0,25.
Les étudiants craignent un sujet portant sur la relativité (évènement R), et connaissant leurs professeurs, ils pronostiquent :
𝑃P(𝑅) = 0,2, 𝑃R(𝑅) = 0,5 et 𝑃S(𝑅) = 0,8.
1) Traduire l'hypothèse 𝑃P(𝑅) = 0,2 par une phrase liée aux probabilités conditionnelles.
Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre.
2) En déduire la probabilité que le sujet porte sur la relativité.
3) Le sujet porte sur la relativité à l'examen.
Quelle est alors la probabilité pour que le professeur 𝑋 ait créé ce sujet ?
