Solutions aux exercices 6
cours d’introduction à la logique, printemps 2019, UniL, Philipp Blum
1. (16 points) Démontrez les séquents donnés en utilisant les règles d’inférence de la déduction naturelle.
Solution: En principe, l’utilisation des règles dites « dérivées » comme la conversion (⌜ϕ→ ψ⌝⊢⌜¬ψ→ ¬ϕ⌝) et le syllogisme disjonctif (⌜ϕ∨ψ⌝,⌜¬ϕ⌝⊢ψ) n’est pas permise dans la preuve de ces sequents. En pratique, l’utilisation de la conversion correspond souvent à celle deMT à la place deMP, et celle du syllogisme disjonctif à un cas spécial de∨E :
(a) Voici une preuve de «(p∨ ¬q)→p , ¬p⊢ ¬p∧q » :
1 (p∨ ¬q)→p ,¬p ⊢ (p∨ ¬q)→p prémisse
2 (p∨ ¬q)→p ,¬p ⊢ ¬p prémisse
3 (p∨ ¬q)→p ,¬p,¬q ⊢∗ ¬q supposition
4 (p∨ ¬q)→p ,¬p,¬q ⊢∗ p∨ ¬q de (3) par (∨I) 5 (p∨ ¬q)→p ,¬p,¬q ⊢∗ p de (1) et (4) par (MP)
6 (p∨ ¬q)→p ,¬p ⊢ ¬¬q de (3), (2) et (5) par (RAA)
7 (p∨ ¬q)→p ,¬p ⊢ q de (6) par (DN)
8 (p∨ ¬q)→p ,¬p ⊢ ¬p∧q de (2) et (7) par (∧I) (b) Voici une preuve de “p→(q→r)⊢(p∧q)→r» :
1 p→(q→r) ⊢ p→(q→r) prémisse
2 p→(q→r), p∧q ⊢∗ p∧q supposition
3 p→(q→r), p∧q ⊢∗ p de (2) par (∧E)
4 p→(q→r), p∧q ⊢∗ q→r de (1) et (3) par (MP)
5 p→(q→r), p∧q ⊢∗ q de (2) par (∧E)
6 p→(q→r), p∧q ⊢∗ r de (4) et (5) par (MP)
7 p→(q→r) ⊢ (p∧q)→r de (2) et (6) par (PC)
(c) Pour prouver « ⊢ p∨ ¬p», c’est-à-dire pour montrer que « p∨ ¬p» est un théorème, nous utilisons la réduction à l’absurde et introduisons comme supposition la négation de ce que nous voulons prouver :
1 ¬(p∨ ¬p) ⊢ ¬(p∨ ¬p) supposition
2 ¬(p∨ ¬p), p ⊢∗ p supposition
3 ¬(p∨ ¬p), p ⊢∗ p∨ ¬p de (2) par (∨I)
4 ¬(p∨ ¬p) ⊢∗ ¬p de (1), (2) et (3) par (RAA)
5 ¬(p∨ ¬p),¬p ⊢∗ ¬p supposition
6 ¬(p∨ ¬p),¬p ⊢∗ p∨ ¬p de (5) par (∨I)
7 ¬(p∨ ¬p) ⊢∗ ¬¬p de (1), (5) et (6) par (RAA)
8 ⊢ ¬¬(p∨ ¬p) de (1), (4) et (7) par (RAA)
9 ⊢ p∨ ¬p de (8) par (DN)
Dans cette preuve, j’ai besoin de trois applications deRAApuisqu’il me faut une contra- diction de deux phrases qui ne sont sous aucune autre supposition que¬(p∨ ¬p)afin de conclure, sous aucune supposition, que ¬¬(p∨ ¬p). Si je le conclurais des lignes (2) et (4), par exemple, je garderais la supposition que p(de la ligne (2)). Il existe une autre
preuve qui ne nécessite que deux applications deRAA:
1 ¬(p∨ ¬p) ⊢ ¬(p∨ ¬p) supposition
2 ¬(p∨ ¬p), p ⊢∗ p supposition
3 ¬(p∨ ¬p), p ⊢∗ p∨ ¬p de (2) par (∨I)
4 ¬(p∨ ¬p) ⊢∗ ¬p de (1), (2) et (3) par (RAA)
5 ¬(p∨ ¬p) ⊢∗ p∨ ¬p de (4) par (∨I)
6 ⊢ ¬¬(p∨ ¬p) de (1), (1) et (5) par (RAA)
7 ⊢ p∨ ¬p de (6) par (DN)
(d) Une preuve de «p∨q , p→r , q→r⊢r∨s» est la suivante :
1 p∨q, p→r, q→r ⊢ p∨q prémisse
2 p∨q, p→r, q→r ⊢ p→r prémisse
3 p∨q, p→r, q→r ⊢ q→r prémisse
4 p∨q, p→r, q→r, p ⊢∗ p supposition
5 p∨q, p→r, q→r, p ⊢∗ r de (2) et (5) par (MP) 6 p∨q, p→r, q→r, q ⊢∗ q supposition
7 p∨q, p→r, q→r, q ⊢∗ r de (3) et (6) par (MP)
8 p∨q, p→r, q→r ⊢ r de (1), (4), (5), (6) et (7) par (∨E) 9 p∨q, p→r, q→r ⊢ r∨s de (8) par (∨I)
(e) Voici comment prouver «(p→q)→(p→r)» à partir de «p→(q→r)» :
1 p→(q→r) ⊢ p→(q→r) prémisse
2 p→(q→r), p→q ⊢∗ p→q supposition
3 p→(q→r), p→q, p ⊢∗ p supposition
4 p→(q→r), p→q, p ⊢∗ q→r de (1) et (3) par (MP)
5 p→(q→r), p→q, p ⊢∗ q de (2) et (3) par (MP)
6 p→(q→r), p→q, p ⊢∗ r de (4) et (5) par (MP)
7 p→(q→r), p→q ⊢∗ p→r de (3) et (6) par (PC)
8 p→(q→r) ⊢ (p→q)→(p→r) de (2) et (7) par (PC)
(f) À part la réduction à l’absurde (exercice (1c)), les preuves de théorèmes peuvent aussi utiliser la preuve conditionnelle. Pour montrer que «(¬(q→r)→ ¬p)→(¬r→ ¬q)» est une tautologie, nous procédons ainsi :
1 p ⊢ p prémisse
2 p,¬(q→r)→ ¬p ⊢∗ ¬(q→r)→ ¬p supposition
3 p,¬(q→r)→ ¬p ⊢∗ ¬¬p de (1) par (DN)
4 p,¬(q→r)→ ¬p ⊢∗ ¬¬(q→r) de (2) et (3) par (MT)
5 p,¬(q→r)→ ¬p ⊢∗ q→r de (4) par (DN)
6 p,¬(q→r)→ ¬p,¬r ⊢∗ ¬r supposition
7 p,¬(q→r)→ ¬p,¬r ⊢∗ ¬q de (5) et (6) par (MT)
8 p,¬(q→r)→ ¬p ⊢∗ ¬r→ ¬q de (6) et (7) par (PC)
9 p ⊢ (¬(q→r)→ ¬p)→(¬r→ ¬q) de (2) et (8) par (PC)
(g) Voici une preuve de «(p→q)∧(p→r)⊢p→(q∧r)» :
1 (p→q)∧(p→r) ⊢ (p→q)∧(p→r) prémisse
2 (p→q)∧(p→r) ⊢ p→q de (1) par (∧E)
3 (p→q)∧(p→r) ⊢ p→r de (1) par (∧E)
4 (p→q)∧(p→r), p ⊢∗ p supposition
5 (p→q)∧(p→r), p ⊢∗ q de (2) et (4) par (MP)
6 (p→q)∧(p→r), p ⊢∗ r de (3) et (4) par (MP)
7 (p→q)∧(p→r), p ⊢∗ q∧r de (5) et (6) par (∧I)
8 (p→q)∧(p→r) ⊢ p→(q∧r) de (4) et (7) par (PC)
(h) Une preuve de «(p→r)∧(q→r)⊢(p∨q)» :
1 (p→r)∧(q→r) ⊢ (p→r)∧(q→r) prémisse
2 (p→r)∧(q→r) ⊢ p→r de (1) par (∧E)
3 (p→r)∧(q→r) ⊢ q→r de (1) par (∧E)
4 (p→r)∧(q→r), p∨q ⊢∗ p∨q supposition
5 (p→r)∧(q→r), p∨q, p ⊢∗ p supposition
6 (p→r)∧(q→r), p∨q, p ⊢∗ r de (5) et (2) par (MP) 7 (p→r)∧(q→r), p∨q, p, q ⊢∗ q supposition
8 (p→r)∧(q→r), p∨q, p, q ⊢∗ r de (3) et (7) par (MP) 9 (p→r)∧(q→r), p∨q ⊢∗ r de (4, 5, 6, 7, 8) par (∨E) 10 (p→r)∧(q→r) ⊢ (p∨q)→r de (4) et (9) par (PC)
Pour pouvoir inférer (10) avecPC, je dois avoir supposé “p∨q”.
(i) Une preuve de «¬p→p⊢p» qui correspond à une sorte de réduction à l’absurde :
1 ¬p→p ⊢ ¬p→p prémisse
2 ¬p→p,¬p ⊢∗ ¬p supposition
3 ¬p→p,¬p ⊢∗ p de (1) et (2) par (MP)
4 ¬p→p ⊢ ¬¬p de (2), (2) et (3) par (RAA)
5 ¬p→p ⊢ p de (4) par (DN)
(j) Nous démontrons la commutativité de la disjonction ainsi :
1 p∨q ⊢ p∨q prémisse
2 p∨q, p ⊢∗ p supposition
3 p∨q, p ⊢∗ q∨p de (2) par (∨I)
4 p∨q, q ⊢∗ q supposition
5 p∨q, q ⊢∗ q∨p de (3) par (∨I)
6 p∨q ⊢ q∨p de (1, 2, 3, 4, 5) par (∨E)
(k) Une sorte d’élimination de la disjonction :
1 p→q,¬p→q ⊢ p→q prémisse
2 p→q,¬p→q ⊢ ¬p→q prémisse
3 p→q,¬p→q,¬q ⊢∗ ¬q supposition
4 p→q,¬p→q,¬q ⊢∗ ¬p de (1) et (3) par (MT)
5 p→q,¬p→q,¬q ⊢∗ ¬¬p de (2) et (3) par (MT)
6 p→q,¬p→q,¬q ⊢∗ p de (5) par (DN)
7 p→q,¬p→q ⊢ ¬¬q de (3),(4) et (6) par (RAA)
8 p→q,¬p→q ⊢ q de (7) par (DN)
(l) Une preuve de «p∧q, q→r⊢r∨s» est la suivante :
1 p∧q, q→r ⊢ p∧q prémisse
2 p∧q, q→r ⊢ q→r prémisse
3 p∧q, q→r ⊢ q de (1) par (∧E)
4 p∧q, q→r ⊢ r de (2) et (3) par (MP)
5 p∧q, q→r ⊢ r∨s de (4) par (∨I)
(m) UnMPun peu différent :
1 ¬¬p, p→q ⊢ ¬¬p prémisse
2 ¬¬p, p→q ⊢ p→q prémisse
3 ¬¬p, p→q ⊢ p de (2) par (DN)
4 ¬¬p, p→q ⊢ q de (1) et (3) par (MP)
(n) Une preuve de «¬(p→q)⊢p→ ¬q» :
1 ¬(p→q) ⊢ ¬(p→q) prémisse
2 ¬(p→q), p ⊢∗ p supposition
3 ¬(p→q), p, q ⊢∗ q supposition
4 ¬(p→q), q ⊢∗ p→q de (3) et (2) par (PC)
5 ¬(p→q) ⊢∗ ¬q de (2), (1) et (4) par (RAA)
6 ¬(p→q) ⊢ p→ ¬q de (2) et (5) par (PC)
Il est temptant de faire ici l’erreur de conclure – de « ¬(p→q) » et de « p» – que¬q par (MP). Cette application n’est par permise parce que «→» n’est pas le connecteur principal de la première formule.
Le fait que l’application de (PC) dans la dernière ligne n’est pas nécessaire pour enlever une supposition montre que la conclusion prouvée était plus faible que nécessaire ; nous aurions pu directement prouver «¬q».
(o) Pour introduire une disjonction sur les deux côtés d’une implication matérielle, nous procédons comme suit :
1 q→r ⊢ q→r prémisse
2 q→r, p∨q ⊢∗ p∨q supposition
3 q→r, p∨q, p ⊢∗ p supposition
4 q→r, p∨q, p ⊢∗ p∨r de (3) par (∨I)
5 q→r, p∨q, q ⊢∗ q supposition
6 q→r, p∨q, q ⊢∗ r de (1) et (5) par (MP)
7 q→r, p∨q, q ⊢∗ p∨r de (6) par (∨I)
8 q→r, p∨q ⊢∗ p∨r de (2, 3, 4, 5, 7) par (∨E)
9 q→r ⊢ (p∨q)→(p∨r) de (2) et (8) par (PC)
Pour pouvoir inférer (9) avecPC, je dois avoir supposé “p∨q”.
(p) Voici une preuve que «(p→q)→q» s’ensuit de «p∨q» :
1 p∨q ⊢ p∨q prémisse
2 p∨q, p→q ⊢∗ p→q supposition
3 p∨q, p→q, p ⊢∗ p supposition
4 p∨q, p→q, p ⊢∗ q de (2) et (3) par (MP)
5 p∨q, p→q, q ⊢∗ q supposition
6 p∨q, p→q ⊢∗ q de (1, 3, 4, 5, 5) par (∨E)
7 p∨q ⊢ (p→q)→q de (2) et (6) par (PC)
2. (4 points) À l’aide de la méthode des arbres, déterminez si les propositions données peuvent être prouvées.
Solution:
(a) «(p∧q∧((q∧p)→r))→(q→r)» peut être prouvée par la méthode des arbres comme suit :
✓ ¬((p∧q∧((q∧p)→r))→(q→r))
✓ p∧q∧((p∧q)→r)
✓ ¬(q→r) p
¬qr
✓ (p∧q)→r AA
AA
✓¬(p∧q) r A ▽
AAA
¬p ¬q
▽ ▽
(b) Un arbre pour «(p→q)↔(¬p∨q)» :
✓ ¬((p→q)↔(¬p∨q)) AA
AA
✓ p→q
✓ ¬(¬p∨q) ✓¬(p→q)
✓¬p∨q
✓¬¬p
¬q
p AA
AA
¬p
▽ q
▽
¬pq AA
AA
¬p
▽ q
▽
(c) Voici un arbre pour « ((p→(p∧q))∧p)→q» :
✓ ¬(((p→(p∧q))∧p)→q)
✓ ((p→(p∧q))∧p)
¬q
✓p→(p∧q) p AA
AA
¬p
▽ ✓p∧q p
▽q
(d) «((p∨r)∧(q → r)∧(p→ q)) → (p↔ q) » ne peut pas être prouvée, puisque deux branches restent ouvertes :
✓ ¬(((p∨r)∧(q→r)∧(p→q))→(p↔q))
✓ p∨r
✓ q→r
✓ p→q
✓ ¬(p↔q) HHHH
p r
AA AA
AA AA
¬q r ¬q r BB
BB
BB BB
BB BB
BB BB
¬p q ¬p q ¬p q ¬p q
▽ ▽ ▽ D DDD
DD DD
▽ D DDD
DD DD p
¬q
▽
¬p
▽q
¬pq
▽
¬p
▽q
¬pq
▽
¬p q
¬pq
▽
¬p q
