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1 Correction des exercices de déduction naturelle – 2 1.1

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Academic year: 2022

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(1)

1 Correction des exercices de déduction naturelle – 2

1.1

Vous démontrerez que l’on peut dériver ∃x¬P x à partir de la prémisse ¬∀xP x.

1 ¬∀xP x P

2 ¬∃x¬P x A

3 ¬P a A

4 ∃x¬P x ∃ I, 3 5 ¬∃x¬P x R2 6 ¬¬P a ˆ ¬I, 3-5

7 P ˆ a ¬ E, 6

8 ∀xP x ∀ I, 7

9 ¬∀xP x R1

10 ¬¬∃x¬P x ¬ I, 2-8 11 ∃x¬P x ¬ E, 10

1.2

Vous démontrerez que l’on peut dériver ∃xGx → (¬A ∧ B) à partir de la prémisse ∀x[Gx → (¬A ∧ B)].

1 ∀x[Gx → (¬A ∧ B )] P

2 ∃xGx A

3

a

Ga A

4 ∀x[Gx → (¬A ∧ B)] R1

5 Ga → (¬A ∧ B) ∀ E, 4

6 (¬A ∧ B) → E, 3, 5

7 (¬A ∧ B ) ∃ E, 2, 3-6

8 ∃xGx → (¬A ∧ B) → I, 2-7

1.3

Vous démontrerez que l’on peut dériver ∃x(F x ∧ Gxd) à partir de la prémisse ∀xF x ∧ ∀xGxd.

1 ∀xF x ∧ ∀xGxd P

2 ∀xF x ∧ E, 1

3 ∀xGxd ∧ E, 1

4 F a ∀ E, 2

5 Gad ∀ E, 3

6 F a ∧ Gad ∧ I, 4, 5

7 ∃x(F x ∧ Gxd) ∃ I, 6

1

(2)

1.4

Vous démontrerez que l’on peut dériver ∀x(B → M dx) à partir de la prémisse B → ∀x(M dx).

1 B → ∀x(M dx) P

2 B A

3 B → ∀x(M dx) R1 4 ∀xM dx → E, 2, 3

5 M dˆ a ∀ E, 4

6 B → M dˆ a → I, 2-5

7 ∀x(B → M dx) ∀ I, 6

1.5

Vous démontrerez que l’on peut dériver ∃x(Hx ∧ ¬Sx) à partir des prémisses ∀x(Sx → Bx) et ∃x(Hx ∧ ¬Bx).

1 ∀x(Sx → Bx) P 2 ∃x(Hx ∧ ¬Bx) P 3

a

Ha ∧ ¬Ba A

4 Ha ∧ E, 3

5 ¬Ba ∧ E, 3

6 ∀x(Sx → Bx) R1 7 Sa → Ba ∀E, 6

8 Sa A

9 Sa → Ba R7

10 Ba → E, 7, 8

11 ¬Ba R5

12 ¬Sa ¬ I, 8-11

13 Ha ∧ ¬Sa ∧I, 4, 12 14 ∃x(Hx ∧ ¬Sx) ∃ I , 13 15 ∃x(Hx ∧ ¬Sx) ∃ E, 2, 3-14

1.6

Vous démontrerez que l’on peut dériver ∃x(Hx ∧ M x) à partir des prémisses ∃x(N x ∧ Hx) et ∀x(N x → M x).

2

(3)

1 ∃x(N x ∧ Hx) P 2 ∀x(N x → M x) P

3

a

N a ∧ Ha A

4 ∀x(N x → M x) R2

5 N a → M a ∀ E, 4

6 N a ∧ E, 3

7 M a → E, 5, 6

8 Ha ∧ E, 3

9 Ha ∧ M a ∧ I, 7, 8

10 ∃x(Hx ∧ M x) ∃ I, 9 11 ∃x(Hx ∧ M x) ∃ E, 1, 3-10

1.7

Vous démontrerez que l’on peut dériver ∃x(F x ∧Bx) à partir des prémisses ∃xF x, ∀x(F x → Sx) et ∀x(Sx → Bx).

1 ∃xF x P

2 ∀x(F x → Sx) P 3 ∀x(Sx → Bx) P

4

a

F a A

5 ∀x(F x → Sx) R2 6 F a → Sa ∀E, 5

7 Sa → E, 4, 6

8 ∀x(Sx → Bx) R3

9 Sa → Ba ∀ E, 8

10 Ba → E, 7, 9

11 F a ∧ Ba ∧ I, 4, 10

12 ∃x(F x ∧ Bx) ∃ I, 11 13 ∃x(F x ∧ Bx) ∃ E, 1, 4-12

3

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