Exercices 12
Cours d’introduction à la logique, semestre de printemps 2008 A rendre avant le vendredi 4 avril, 10 h
Nom(s):
Points obtenus (dans 2 questions avec un total de 20 points):
1. (14 points) Par la méthode de la déduction naturelle, prouvez les séquents suivants : (a) “∀x(F x→ ¬Gx), ∀x(Hx→Gx) ` ∀x(F x→ ¬Hx ”
(b) “
)
∀x(Gx→ ¬F x), ∀x(Hx→Gx) ` ∀x(F x→ ¬Hx ” (c) “
)
∀x(F x→Gx) ` ∀x(F x)→ ∀x(Gx ” (d) “
)
∀x(Gx→ ¬Hx), ∃x(F x∧Gx) ` ∃x(F x∧ ¬Hx ” (e) “
)
∀x(Hx→Gx), ∃x(F x∧ ¬Gx) ` ∃x(F x∧ ¬Hx ” (f) “
)
∀x(F x→Gx) ` ∃x(F x)→ ∃x(Gx ” (g) “
)
∀x(F x∧Gx) ` ∀x(F x)∧ ∀x(Gx ” (h) “
)
∃x(F x)∨ ∃x(Gx) ` ∃x(F x∨Gx ” (i) “
)
∃x(F a→F x) ` F a→ ∃x(F x ” (j) “
)
∃x(F x)→F a ` ∀x(F x→F a ” (k) “
)
∃x∀y(Rxy)` ∀y∃x(Rxy ” (l) “
)
∃x∃y(Rxy) ` ∃y∃x(Rxy ” (m) “
)
∀x(F x→Gx) ` ∀x(∃y(F y∧Rxy)→ ∃y(Gy∧Rxy ” (n) “
))
∃x(F x∧Gx), ∃x(F x∧ ∀y(Gy→ ¬Rxy)) ` ∃x(F x∧ ¬∀y(F y→Rxy))”
2. (6 points) Dites si les applications suivantes des règles de déduction naturelle pour les quantifica- teurs sont correctes. Si elles ne le sont pas, dites pourquoi.
(a)
1 ∀x∃z(F xz∧Gxz) ` ∀x∃z(F xz∧Gxz prémisse 2
)
∀x∃z(F xz∧Gxz) ` ∃z(F aa∧Gaz) de (1) par ( )
(b)
1
SU
∀x∃z(F xz∧Gxz) ` ∀x∃z(F xz∧Gxz prémisse 2
)
∀x∃z(F xz∧Gxz) ` ∃z(F az∧Gbz) de (1) par ( )
(c)
1
SU
F ba ` prémisse
2
F ba
F ba ` ∃y(F by) de (1) par ( )
(d)
1
GE
∃x(F xa) ` ∃x(F xa prémisse
2
)
∃x(F xa) ` ∃y∃x(F xx) de (1) par ( )
(e)
1
GE
F ab→ ∀x(Gax) ` F ab→ ∀x(Gax prémisse 2
)
F ab→ ∀x(Gax) ` ∀y(F ay→ ∀x(Gax)) de (1) par ( )
(f)
1
GU
∃x(F xa∧Gbx) ` ∃x(F xa∧Gbx prémisse 2
)
∃x(F xa∧Gbx) ` F ba∧Gbb de (1) par ( )
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SE
