Exercices 12 : La déduction naturelle de la logique des prédicats
cours d’introduction à la logique, UniL, Philipp Blum à rendre le mercredi 22 mai 2019, avant 8h30
Nom(s) :
Points obtenus (dans 3 questions avec un total de 20 points) :
1. (12 points) Par la méthode de la déduction naturelle, prouvez les séquents suivants : (a) «∀x(F x→ ¬Gx), ∀x(Hx→Gx)⊢ ∀x(F x→ ¬Hx)»
(b) «∀x(Gx→ ¬F x), ∀x(Hx→Gx)⊢ ∀x(F x→ ¬Hx)» (c) «∀x(F x)∨ ∀x(Gx)⊢ ∀x(F x∨Gx)»
(d) «(∀x(F x)↔ ∃x(F x))↔ ∃x(F x)⊢ ¬∃x¬(F x)» (e) «∀x(F x→Gx)⊢ ∀x(F x)→ ∀x(Gx)»
(f) «∀x(F x→Gx)⊢ ∃x(F x)→ ∃x(Gx)» (g) «∀x(F x∧Gx)⊢ ∀x(F x)∧ ∀x(Gx)» (h) «∃x(F x)∨ ∃x(Gx)⊢ ∃x(F x∨Gx)»
(i) «∃x(F a→F x)⊢F a→ ∃x(F x)» (j) «∃x∀y(Rxy)⊢ ∀y∃x(Rxy)»
(k) «∀x(F x→Gx)⊢ ∀x(∃y(F y∧Rxy)→ ∃y(Gy∧Rxy))»
(l) «∃x(F x∧Gx), ∃x(F x∧ ∀y(Gy→ ¬Rxy))⊢ ∃x(F x∧ ¬∀y(F y→Rxy))»
2. (2 points) Prouvez les équivalences suivantes par la méthode de la déduction naturelle : (a) «∃x(F x)⊣⊢ ¬∀x¬(F x)»
(b) «∃x¬(F x)⊣⊢ ¬∀x(F x)»
1
3. (6 points) Dites si les applications suivantes des règles de déduction naturelle pour les quan- tificateurs sont correctes. Si elles ne le sont pas, dites pourquoi.
(a)
1 ∀x∃z(F xz∧Gxz) ⊢ ∀x∃z(F xz∧Gxz) prémisse 2 ∀x∃z(F xz∧Gxz) ⊢ ∃z(F aa∧Gaz) de (1) par (SU)
(b)
1 ∀x∃z(F xz∧Gxz) ⊢ ∀x∃z(F xz∧Gxz) prémisse 2 ∀x∃z(F xz∧Gxz) ⊢ ∃z(F az∧Gbz) de (1) par (SU)
(c)
1 F ba ⊢ F ba prémisse
2 F ba ⊢ ∃y(F by) de (1) par (GE)
(d)
1 ∃x(F xa) ⊢ ∃x(F xa) prémisse
2 ∃x(F xa) ⊢ ∃y∃x(F xx) de (1) par (GE)
(e)
1 F ab→ ∀x(Gax) ⊢ F ab→ ∀x(Gax) prémisse 2 F ab→ ∀x(Gax) ⊢ ∀y(F ay→ ∀x(Gax)) de (1) par (GU)
(f)
1 ∃x(F xa∧Gbx) ⊢ ∃x(F xa∧Gbx) prémisse 2 ∃x(F xa∧Gbx) ⊢ F ba∧Gbb de (1) par (SE)
2 de 2
