Transform´ee de Laplace
Soitf :R−→R une fonction de classeC1 par morceaux et de croissance au plus exponentielle. On note la tranform´ee de Laplace de f par
L(f(t))(s) = Z ∞
0
f(t)e−stdt pour s > s0,
o`u s0 est l’abscisse de sommabilit´e de f.
On note H(t) la fonction de Heaviside ou fonction ´echelon unit´e, c’est-`a- dire H(t) = 0 pourt <0 et H(t) = 1 pour t≥0.
On note δ(t) l’impulsion de Dirac.
1 Fonctions usuelles
f(t) L(f(t))(s) convergence
δ(t) 1 s∈R
H(t) 1s s >0
e−attn, a∈R, n∈N (s+a)n!n+1 s > a e−atcos(bt),a, b∈R (s+a)s+a2+b2 s > a e−atsin(bt),a, b∈R (s+a)b2+b2 s > a
2 Propri´ et´ es
1. Lin´earit´e :L(λ1f1+λ2f2) = λ1L(f1) +λ2L(f2) pour tout λ1, λ2 ∈R. 2. L(e−atf(t))(s) =L(f(t))(s+a) pour tout a∈R.
3. L(f(t−a)H(t−a)) = e−asL(f(t)) pour tout a≥0.
4. Convolution : L((f∗g)(t)) = L(f(t))L(g(t)).
5. Pour f continue sur [0,+∞[,L(f0(t))(s) = sL(f(t))(s)−f(0).
6. L(Rt
af(u)du) = 1sL(f(t))(s) + 1sR0
a f(u)du pour tout a≥0.
7. Si limt→+∞f(t) = l existe, alors lims→0+sL(f(t))(s) =l.
8. Sif est continue en 0, alors lims→+∞sL(f(t))(s) =f(0).
9. S’il existe des fonctionsf, F telles queL(F(t))(s) =φ(s) etL(f(t))(s) = sφ(s), alorsf(t) = F0(t).
10. dsdL(f(t))(s) =−L(tf(t))(s).
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