Fonctions usuelles

(1)

Fonctions usuelles

(2)

Fonctions usuelles La fonction logarithme

1 Fonctions logarithme, exponentielle et puissance La fonction logarithme

La fonction exponentielle La fonction puissance

La fonction exponentielle de basea Croissances comparées

2 Fonctions trigonométriques réciproques Fonction Arc sinus

La fonction Arccosinus La fonction Arctangente Les équations trogonométriques

3 Fonctions hyperboliques Équations hyperboliques

Paris Descartes 2012 — 2013 Mathématiques et calcul 1

(3)

La fonction logarithme

Il existe une unique fonction ln : ]0,+∞[7−→Rtelle que :

∀x >0, ln⁰(x) = 1

x et ln 1=0

(4)

Propriétés du logarithme

É ∀a , b∈R^∗+, ln(a.b) =lna+lnb

É ∀a∈R^∗+, ∀n∈Z^, ln(aⁿ) =n.lna

É La fonction logarithme est unebijection continue et strictement croissante de]0,+∞[surR.

É lim

x→0

ln(1+x)

x =1

É ∀x >0, lnx≤x−1

(5)

Propriétés du logarithme 1

soit a >0, on pose :f(x) =ln(ax).

É f⁰(x) = a ax= 1

x =ln⁰x

É ∀x >0, (f−ln)⁰(x) =0

donc : f−ln est constante sur]0,+∞[ donc : ∀x >0, ln(ax)−lnx=k

É Pour x=1 : lna−ln 1=k

donc : k=lna

É Finalement :

∀x >0, ln(ax)−lnx=lna

⇒ ln(ax) =lnx+lna

(6)

Propriétés du logarithme 1

É f⁰(x) = a ax= 1

x =ln⁰x

É ∀x >0, (f−ln)⁰(x) =0

donc : k=lna

É Finalement :

⇒ ln(ax) =lnx+lna

(7)

Propriétés du logarithme 1

É f⁰(x) = a ax= 1

x =ln⁰x

É ∀x >0, (f−ln)⁰(x) =0

donc : f−ln est constante sur]0,+∞[

donc : ∀x >0, ln(ax)−lnx=k

donc : k=lna

É Finalement :

⇒ ln(ax) =lnx+lna

(8)

Propriétés du logarithme 1

É f⁰(x) = a ax= 1

x =ln⁰x

É ∀x >0, (f−ln)⁰(x) =0

donc : k=lna

É Finalement :

⇒ ln(ax) =lnx+lna

(9)

Propriétés du logarithme 1

É f⁰(x) = a ax= 1

x =ln⁰x

É ∀x >0, (f−ln)⁰(x) =0

donc : k=lna

É Finalement :

⇒ ln(ax) =lnx+lna

(10)

Propriétés du logarithme 1

É f⁰(x) = a ax= 1

x =ln⁰x

É ∀x >0, (f−ln)⁰(x) =0

É Pour x=1 : lna−ln 1=k donc : k=lna

É Finalement :

⇒ ln(ax) =lnx+lna

(11)

Propriétés du logarithme 1

É f⁰(x) = a ax= 1

x =ln⁰x

É ∀x >0, (f−ln)⁰(x) =0

É Finalement :

⇒ ln(ax) =lnx+lna

(12)

Propriétés du logarithme 1

É f⁰(x) = a ax= 1

x =ln⁰x

É ∀x >0, (f−ln)⁰(x) =0

É Finalement :

∀x >0, ln(ax)−lnx=lna ⇒ ln(ax) =lnx+lna

(13)

Propriétés du logarithme

É lim

x→0

ln(1+x)

x =1

É ∀x >0, lnx≤x−1

(14)

Propriétés du logarithme 2

1. Pour n∈N: par récurrence

1.1 lna¹=lna

1.2 Hypothèse de récurrence : pour 1≤p≤n, ln(a^p) =p.lna 1.3 ln(aⁿ⁺¹) =ln

a.(aⁿ)

=lna+n.lna= (n+1).lna 2. Pour n∈Z:

2.1 ln(aⁿ.a⁻ⁿ) =ln 1=0

2.2 D’autre part : ln(aⁿ.a⁻ⁿ) =lnaⁿ+lna⁻ⁿ

donc : lna⁻ⁿ=−n.lna

(15)

Propriétés du logarithme 2

1. Pour n∈N: par récurrence 1.1 lna¹=lna

a.(aⁿ)

2.1 ln(aⁿ.a⁻ⁿ) =ln 1=0

(16)

Propriétés du logarithme 2

1.2 Hypothèse de récurrence : pour 1≤p≤n, ln(a^p) =p.lna

1.3 ln(aⁿ⁺¹) =ln

a.(aⁿ)

2.1 ln(aⁿ.a⁻ⁿ) =ln 1=0

(17)

Propriétés du logarithme 2

a.(aⁿ)

=lna+n.lna= (n+1).lna

2. Pour n∈Z:

2.1 ln(aⁿ.a⁻ⁿ) =ln 1=0

(18)

Propriétés du logarithme 2

a.(aⁿ)

2.1 ln(aⁿ.a⁻ⁿ) =ln 1=0

(19)

Propriétés du logarithme 2

a.(aⁿ)

2.1 ln(aⁿ.a⁻ⁿ) =ln 1=0

(20)

Propriétés du logarithme 2

a.(aⁿ)

2.1 ln(aⁿ.a⁻ⁿ) =ln 1=0

(21)

Propriétés du logarithme 2

a.(aⁿ)

2.1 ln(aⁿ.a⁻ⁿ) =ln 1=0

−n

(22)

Propriétés du logarithme

É lim

x→0

ln(1+x)

x =1

É ∀x >0, lnx≤x−1

(23)

Propriétés du logarithme 3

1. ∀x >0, ln⁰x=1 x

>0 donc : la fonction logarithme est strictement croissante pourx >0.

2. Alors : ln 2>ln 1=0,

la suiteu_n=n.ln 2=ln(2ⁿ) a donc pour limite+∞.

Donc : lim_x

→+∞lnx= +∞

3. lim

x→0(lnx) =_xlim

→+∞ln(1

x) =_xlim

→+∞(−lnx) =−∞

Donc : ln :I=]0,+∞[7−→R est une fonction continue strictement croissante.

(24)

Propriétés du logarithme 3

1. ∀x >0, ln⁰x=1 x

>0

donc : la fonction logarithme est strictement croissante pourx >0.

2. Alors : ln 2>ln 1=0,

Donc : lim_x

→+∞lnx= +∞

3. lim

x→0(lnx) =_xlim

→+∞ln(1

x) =_xlim

→+∞(−lnx) =−∞

(25)

Propriétés du logarithme 3

1. ∀x >0, ln⁰x=1 x

2. Alors : ln 2>ln 1=0,

Donc : lim_x

→+∞lnx= +∞

3. lim

x→0(lnx) =_xlim

→+∞ln(1

x) =_xlim

→+∞(−lnx) =−∞

(26)

Propriétés du logarithme 3

1. ∀x >0, ln⁰x=1 x

2. Alors : ln 2>ln 1=0,

Donc : lim_x

→+∞lnx= +∞ 3. lim

x→0(lnx) =_xlim

→+∞ln(1

x) =_xlim

→+∞(−lnx) =−∞

(27)

Propriétés du logarithme 3

1. ∀x >0, ln⁰x=1 x

2. Alors : ln 2>ln 1=0, la suiteu_n=n.ln 2=ln(2ⁿ) a donc pour limite+∞.

Donc : lim_x_→+

∞lnx= +∞

3. lim

x→0(lnx) =_xlim

→+∞ln(1

x) =_xlim

→+∞(−lnx) =−∞

(28)

Propriétés du logarithme 3

1. ∀x >0, ln⁰x=1 x

Donc : lim_x_→+

∞lnx= +∞ 3. lim

x→0(lnx) =_xlim

→+∞ln(1

x) =_xlim

→+∞(−lnx) =−∞

(29)

Propriétés du logarithme 3

1. ∀x >0, ln⁰x=1 x

Donc : lim_x_→+

∞lnx= +∞ 3. lim

x→0(lnx) =_xlim

→+∞ln(1

x) =_xlim

→+∞(−lnx) =−∞

(30)

Rappel

Théorème :Soit Iun intervalle etf :I7−→Rune fonction continue et strictement monotone.

1. f(I) est un intervalle etf est une bijection deIsurf(I). 2. Siaet b sont les bornes de l’intervalleI, alors :

xlim→a

f(x) et lim

x→b

f(x) sont les bornes de l’intervallef(I).

3. La bijection réciproque de f est continue, strictement monotone et de même sens de variation que f.

Théorème également vrai si on remplace aet bpar ±∞

(31)

Propriétés du logarithme

É lim

x→0

ln(1+x)

x =1

É ∀x >0, lnx≤x−1

(32)

Propriétés du logarithme

É _xlim

→0

ln(1+x)

x =1

É ∀x >0, lnx≤x−1

(33)

xlim→0

ln(1+x)

x =lim

x→0

ln(1+x)−ln 1

x =ln⁰(1) = 1 1 =1

(34)

Graphe de la fonction logarithme

y

1 x 0

logx

(35)

Graphe de la fonction logarithme

y

1 x 0

logx

(36)

Fonctions usuelles La fonction exponentielle

Propriétés du logarithme

É lim

x→0

ln(1+x)

x =1

É ∀x >0, lnx≤x−1

(37)

Rappel

Théorème :Soit Iun intervalle etf :I7−→Rune fonction continue et strictement monotone.

1. f(I) est un intervalle etf est une bijection deIsurf(I). 2. Siaet b sont les bornes de l’intervalleI, alors :

xlim→a

f(x) et lim

x→b

f(x) sont les bornes de l’intervallef(I). 3. La bijection réciproque de f est continue, strictement

monotone et de même sens de variation quef.

Théorème également vrai si on remplace aet bpar ±∞

(38)

La fonction exponentielle

La fonction réciproque de la fonction logarithme s’appelle la fonction exponentielle.

Notation : exp(x) oue^x

exp est une fonctioncontinue et strictement croissante définie sur Ret à valeurs dans ]0,+∞[

On a :

¨ explnx = x ∀x >0 lnexp(x) = x ∀x

(39)

La fonction exponentielle

On a :

(40)

La fonction exponentielle

On a :

(41)

La fonction exponentielle

On a :

(42)

Propriétés de la fonction exponentielle

É ∀a , b∈R^, exp(a+b) =exp(a).exp(b)

É ∀a∈R^, ∀n∈Z^, exp(n.a) =exp(a)ⁿ

É ∀x∈R^, exp⁰(x) =exp(x)

(43)

Propriétés de la fonction exponentielle

(44)

Propriétés de la fonction exponentielle

(45)

Dérivée d’une fonction réciproque

Soit Iun intervalle ouvert etf :I7−→f(I) =June fonction dérivable et strictement monotone.

É f est bijective...

É Sig est la fonction réciproque def, g :J7−→Iest dérivable et :g⁰(x) = 1

f⁰g(x)

Puisqueg est la fonction réciproque def,

∀x∈J, (f◦g)(x) =x

Donc :(f ◦g)⁰(x) =f⁰g(x).g⁰(x) =1 ⇒ g⁰(x) = 1 f⁰g(x)

(46)

Dérivée d’une fonction réciproque

f⁰g(x)

∀x∈J, (f◦g)(x) =x

(47)

Dérivée d’une fonction réciproque

f⁰g(x)

∀x∈J, (f◦g)(x) =x

(48)

Dérivée d’une fonction réciproque

f⁰g(x)

∀x∈J, (f◦g)(x) =x

(49)

Dérivée de l’exponentielle

(ln◦exp)(x) =x

(ln◦exp)⁰(x) =ln⁰exp(x).exp⁰(x) =1 Donc : exp⁰(x) = 1

ln⁰exp(x) = 1

1 exp(x)

=exp(x)

(50)

Dérivée de l’exponentielle

(ln◦exp)(x) =x

(ln◦exp)⁰(x) =ln⁰exp(x).exp⁰(x) =1

Donc : exp⁰(x) = 1

ln⁰exp(x) = 1

1 exp(x)

=exp(x)

(51)

Dérivée de l’exponentielle

(ln◦exp)(x) =x

(ln◦exp)⁰(x) =ln⁰exp(x).exp⁰(x) =1 Donc : exp⁰(x) = 1

ln⁰exp(x)

= 1

1 exp(x)

=exp(x)

(52)

Graphe d’une fonction réciproque

Sif est bijective, il existef⁻¹ telle que :

∀x, (f ◦f⁻¹)(x) = (f⁻¹◦f)(x) =x.

Alors :y=f(x) ⇔ x=f⁻¹(y) Soit G_f ={(x , f(x))|x∈I} le graphe de la fonction f : (x , y)∈G_f ⇔ (y , x) = (y , f⁻¹(y))

∈G

f⁻¹

(53)

Graphe d’une fonction réciproque

∀x, (f ◦f⁻¹)(x) = (f⁻¹◦f)(x) =x.

Alors :y=f(x) ⇔ x=f⁻¹(y)

Soit G_f ={(x , f(x))|x∈I} le graphe de la fonction f : (x , y)∈G_f ⇔ (y , x) = (y , f⁻¹(y))

∈G

f⁻¹

(54)

Graphe d’une fonction réciproque

∀x, (f ◦f⁻¹)(x) = (f⁻¹◦f)(x) =x.

Alors :y=f(x) ⇔ x=f⁻¹(y) Soit G_f ={(x , f(x))|x∈I} le graphe de la fonction f :

(x , y)∈G_f ⇔ (y , x) = (y , f⁻¹(y))

∈G

f⁻¹

(55)

Graphe d’une fonction réciproque

∀x, (f ◦f⁻¹)(x) = (f⁻¹◦f)(x) =x.

Alors :y=f(x) ⇔ x=f⁻¹(y) Soit G_f ={(x , f(x))|x∈I} le graphe de la fonction f : (x , y)∈G_f ⇔ (y , x) = (y , f⁻¹(y))

∈G

f⁻¹

(56)

Graphe d’une fonction réciproque

∀x, (f ◦f⁻¹)(x) = (f⁻¹◦f)(x) =x.

Alors :y=f(x) ⇔ x=f⁻¹(y) Soit G_f ={(x , f(x))|x∈I} le graphe de la fonction f : (x , y)∈G_f ⇔ (y , x) = (y , f⁻¹(y))∈G

f⁻¹

(57)

Graphe d’une fonction réciproque

y

0 x (x, y)

(y, x)

x y

y x

(58)

Graphe d’une fonction réciproque

y

0 x (x, y)

(y, x)

x y

y x

(59)

Graphe de la fonction exponentielle

y

1 x 0

logx

(60)

Graphe de la fonction exponentielle

y

1 x 0 1

logx

(61)

Graphe de la fonction exponentielle

y

1 x 0 1

logx exp(x)

(62)

Fonctions usuelles La fonction puissance

La fonction puissance

Soit a >0 etb∈Ron appelle «apuissanceb»le nombre réel définit par :

a^b=exp(b.lna)

Soit b∈R, la fonction :

u : ]0,+∞[ 7−→ R

x 7−→ u(x) =x^b

=exp(b.lnx)

s’appelle la fonction puissance.

(63)

La fonction puissance

a^b=exp(b.lna) Soit b∈R, la fonction :

u : ]0,+∞[ 7−→ R

x 7−→ u(x) =x^b

=exp(b.lnx)

(64)

La fonction puissance

a^b=exp(b.lna) Soit b∈R, la fonction :

u : ]0,+∞[ 7−→ R

x 7−→ u(x) =x^b=exp(b.lnx) s’appelle la fonction puissance.

(65)

Dérivée de la fonction puissance

u(x) =x^b=exp(b.lnx) u⁰(x) =exp⁰(b.lnx).(b.ln⁰x)

=exp(b.lnx) b x u⁰(x) =b.exp(−lnx).exp(b.lnx)

=b.exp(b−1).lnx

u⁰(x) =b x^b⁻¹

(66)

Dérivée de la fonction puissance

u(x) =x^b=exp(b.lnx)

u⁰(x) =exp⁰(b.lnx).(b.ln⁰x) =exp(b.lnx) b x

u⁰(x) =b.exp(−lnx).exp(b.lnx)

=b.exp(b−1).lnx

u⁰(x) =b x^b⁻¹

(67)

Dérivée de la fonction puissance

u⁰(x) =exp⁰(b.lnx).(b.ln⁰x) =exp(b.lnx) b x u⁰(x) =b.exp(−lnx).exp(b.lnx)

=b.exp(b−1).lnx u⁰(x) =b x^b⁻¹

(68)

Dérivée de la fonction puissance

u⁰(x) =exp⁰(b.lnx).(b.ln⁰x) =exp(b.lnx) b x u⁰(x) =b.exp(−lnx).exp(b.lnx) =b.exp(b−1).lnx

u⁰(x) =b x^b⁻¹

(69)

Dérivée de la fonction puissance

u⁰(x) =exp⁰(b.lnx).(b.ln⁰x) =exp(b.lnx) b x u⁰(x) =b.exp(−lnx).exp(b.lnx) =b.exp(b−1).lnx

u⁰(x) =b x^b⁻¹

(70)

Propriétés de la fonction puissance

b∈R, x∈]0,+∞[, u(x) =x^b=exp(b.lnx), u⁰(x) =b x^b⁻¹

É b >0

É u⁰(x) =bexp

(b−1)lnx

>0 : la fonction puissance est strictement croissante.

É _xlim

→+∞(b.lnx) = +∞ ⇒ _xlim

→+∞

x^b= +∞

É lim

x→0(b.lnx) =−∞ ⇒ lim

x→0

x^b=0 :

la fonction puissance se prolonge par continuité en 0 en posant :u(0) =0

É Sib >1 : lim_x

→0

u(x) x =_xlim

→0

x^b⁻¹=_xlim

→0exp

(b−1)lnx

=0 :

la fonction puissance est dérivable à droite en 0,u⁰_d(0) =0, et la tangente au graphe est horizontale.

É Si 0< b <1 : lim

x→0

u(x) x =lim

x→0

x^b⁻¹=lim

x→0exp

(b−1)lnx

= +∞ :

la fonction puissance n’est pas dérivable en 0, la tangente au graphe est verticale.

(71)

Propriétés de la fonction puissance

b∈R, x∈]0,+∞[, u(x) =x^b=exp(b.lnx), u⁰(x) =b x^b⁻¹

É b >0

É u⁰(x) =bexp

(b−1)lnx

>0 : la fonction puissance est strictement croissante.

É _xlim

→+∞(b.lnx) = +∞ ⇒ _xlim

→+∞

x^b= +∞

É lim

x→0(b.lnx) =−∞ ⇒ lim

x→0

x^b=0 :

la fonction puissance se prolonge par continuité en 0 en posant :u(0) =0

É Sib >1 : lim_x

→0

u(x) x =_xlim

→0

x^b⁻¹=_xlim

→0exp

(b−1)lnx

=0 :

la fonction puissance est dérivable à droite en 0,u⁰_d(0) =0, et la tangente au graphe est horizontale.

É Si 0< b <1 : lim

x→0

u(x) x =lim

x→0

x^b⁻¹=lim

x→0exp

(b−1)lnx

= +∞ :

la fonction puissance n’est pas dérivable en 0, la tangente au graphe est verticale.