S´eance 2 : Exercices FONCTIONS CONVEXES

ECP Math´ematiques 2 2^e Ann´ee 2005-2006

S´eance 2 : Exercices FONCTIONS CONVEXES

Programme du cours

Dans le chapitre 2 les d´efinitions des ensembles convexes (§2.1.1) et le paragraphe sur les fonctions convexes (§2.2).

Question 1

Un circuit ´electrique : exemple de syst`eme non lin´eaire

On consid`ere un circuit ´electrique compos´e den+pnoeuds et de composants d´efinis par un en- sembleE de paires de noeuds (i, j). Le circuit est suppos´e connexe (i.e. en un seul morceau).

On note Vi le potentiel au noeud i, potentiel connu pour i > n (masse, g´en´erateurs), et on suppose que les intensit´es dans les composants (r´esistances ou diodes) sont fonctions (g´en´eralement non lin´eaires) des potentiels `a leurs bornes Ii,j =fi,j(Vi−Vj).

On suppose que les fonctions fi,j(t) sont des fonctions monotones strictement croissantes et quefi,j(0) = 0 ; on note

F_i,j(t) = Z t

0

f_i,j(τ)dτ

qui est une primitive de fi,j(t). Les hypoth`eses surfi,j(t) impliquent queFi,j(t)≥0 et que

t→±∞lim F_i,j(t) = +∞ (1)

Une r´esistance pure Ri,j correspond `a une fonction fi,j(Vi−Vj) = ^V_R^i−Vj

i,j , cette situation est

´etudi´ee en d´etail au chapitre 1 du cours “Approximation des ´equations aux d´eriv´ees par- tielles”.

• Montrer que les lois de Kirchhoff (la somme des intensit´es arrivant sur un noeud est nulle) impliquent que les potentiels aux noeuds Vi sont solutions du syst`eme d’´equations non lin´eaires

∀i= 1, ..n, X

j|(i,j)∈E

fi,j(Vi−Vj) = 0 (2)

• On d´efinitV= (V1, ..., Vn)∈Rⁿ le vecteur associ´e aux potentiels. Soit la fonction F(V) = X

(i,j)∈E

Fi,j(Vi−Vj)

2 Math´ematiques 2

Montrer que

∇F(V)i = X

j|(i,j)∈E

fi,j(Vi−Vj)

En d´eduire qu’un vecteur V= (V₁, ..., V_n) ∈Rⁿ est une solution du syst`eme (2) si V est un extr´emum de la fonctionF(V).

Question 2

Un circuit ´electrique : utilisation du principe du minimum

• Montrer que la fonctionF(V) est strictement convexe (pour la stricte convexit´e utiliser le fait que le circuit est connexe).

• Montrer queF(V) est coercive (indic : montrer en utilisant (1) que F(V)≤M ⇒ ∃α sup

j|(i,j)∈E

(Vi−Vj)≤α

et utiliser le fait que le circuit est connexe et qu’il y a un noeud au moins (une masse) o`u le potentiel est nul) .

•En d´eduire que le syst`eme (2) qui d´efinit les potentielsVdans le circuit admet une solution et une seule.

On peut r´esoudre ce syst`eme en utilisant une m´ethode d’optimisation appliqu´ee `a la minimi- sation de la fonctionF(V).

Remarque : Dans cet exemple on a montr´e que ce syst`eme non-lin´eaire a une solution et une seule pour toutes les valeurs des donn´ees. On comparera avec l’exercice (XX) du chapitre 1 : dans ce syst`eme le nombre de solutions d´epend de la valeur de certains param`etres du probl`eme.

Question 3

Optimisation du profil d’une route

On consid`ere une premi`ere approche simplifi´e du probl`eme du profil d’une route de longueur L. On construit la route en faisant uniquement des tranch´ees et des talus ; le trac´e est suppos´e donn´e, seules la profondeur des tranch´ees et la hauteur des talus (i.e. le profil de la route) sont `a d´efinir. − La route est trac´ee sur un sol dont l’altitude est d´efinie par une fonctiong(x), x∈[0, L].

−L’altitude, ou le profil, de la chauss´ee, est d´efinie par la fonction u(x), x∈[0, L].

−L’objectif est d´efinir un profilu(x) qui ne d´epasse jamais une pente α tout en minimisant le coˆut des remblais et des tranch´ees `a effectuer que l’on suppose ´evalu´e par la fonction

J(u) = Z L

0

φ(u(x)−g(x))dx

− La fonction φ(y), y ∈ R est suppos´e convexe et coercive. Noter que si la coercivit´e est naturelle, la convexit´e est une hypoth`ese “ad hoc”.

−On envisagera les deux cas particuliers

φ(y) =|y|

S´eance 2 3

et

φ(y) =|y|² Il faut r´esoudre le probl`eme d’optimisation







C={u∈C([0, L])/∀x, y∈[0, L] |u(x)−u(y)| ≤α|x−y|}

∀u∈C J(¯u)≤J(u)

(3)

• V´erifier queC est un convexe.

• Donner un argument (de g´enie civil et non pas de math´ematiques...) en faveur du choix φ(y) =|y|².

Montrer que pour ce choix de la fonction φ, la solution ¯u de (3) est la projection, au sens de la norme de L²([0, L]), de la fonction g sur le convexeC. Les conditions du th´eor`eme de projection ´enonc´e dans le cours sont-elles v´erifi´ees ?

• Montrer que la fonction J(u) est convexe, et strictement convexe si φ est strictement convexe. En d´eduire l’unicit´e de la solution si la fonction φ(x) est strictement convexe. On admettra (voir le corrig´e) l’existence de la solution de (3).

• Montrer que siφ(y) =|y|² on a Z L

0

¯

u(x)−g(x)dx= 0 Question 4

Approximation du probl`eme du profil d’une route

Nous allons discr´etiser le probl`eme pr´ec´edent en approchant le profil u(x) par une fonction continue affine par morceaux. Soit :

−h= _n−1^L , o`u n∈N est donn´e,

− V_h l’ensemble des fonctions continues affines par morceaux sur [0, L] pour un partage en intervalles de longueurh.

−On pose :

x_i =ih, i= 0, ..., n−1,

ui =u(xi), U= (u0, ..., un−1)^t, gi=g(xi),G= (g₀, ..., g_n−1)^t.

Une fonction u(x) de V_h est obtenue par interpolation lin´eaire entre des valeursu_i = u(x_i) aux point xi. Elle est parfaitement d´efinie par ces valeurs, ce qui, en termes plus savants, montre que l’application qui `au∈VhassocieU∈Rⁿest un isomorphisme d’espace vectoriel : on peut donc identifierV_h etRⁿ.

−On approche l’int´egrale J(u) en rempla¸cant les int´egrales exactes par leur approximation par la formule des trap`ezes

Z xi

x_i−1

φ(u(x)−g(x))dx∼ h

2(φ(u(x_i−1)−g(x_i−1)) +φ(u(xi)−g(xi))) ce qui donne

J(u)∼I(U) =h(1

2φ(u₀−g₀) +φ(u₁−g₁) +...+φ(u_n−2−g_n−2) +1

2φ(u_n−1−g_n−1))

4 Math´ematiques 2

• SoitCh est le poly`edre de Rⁿ d´efini par les in´equations

Ch ={U∈Rⁿ/∀i, 1≤i≤n−1 ⇒ |ui−u_i−1| ≤αh}

Montrer que

u∈Vh∩C ⇔ U∈Ch

• Pour approcher (3) on pose le probl`eme d’optimisation







C_h={U∈Rⁿ/∀i, 1≤i≤n−1 ⇒ |ui−u_i−1| ≤αh}

∀U∈Ch I( ¯U)≤I(U)

(4)

Montrer, si φ(y) = y², l’existence et l’unicit´e de la solution du probl`eme (4) (pour le cas g´en´eral, voir le corrig´e).

Note : nous verrons au chapitre 5 des m´ethodes num´eriques de r´esolution de ce probl`eme qui est un probl`eme d’optimisation quadratique sous des contraintes d’in´egalit´e lin´eaires.

• On choisit φ(y) = |y|. Montrer que le probl`eme d’optimisation (4) est ´equivalent au probl`eme





 minui,zi

1

2z₀+z₁+...+z_n−2+...+1

2z_n−1 sous les contraintes :

∀i, 1≤i≤n−1 ⇒ |ui−u_i−1| ≤αh

∀i, 0≤i≤n−1 ⇒ zi ≥h|ui−gi|

(5)

et que ce probl`eme est un probl`eme de minimisation d’une fonction lin´eaire sous des con- traintes d’in´egalit´es lin´eaires.

Note : nous verrons ult´erieurement un algorithme, la m´ethode du simplexe, qui fournit la solution en un nombre fini d’´etapes.