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corrig´e partiel du TD 1 I Exercices E Exercice: Explosion combinatoire Donn´ees n ∈ IN est le nombre de patients. d ∈ (IN

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Academic year: 2022

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corrig´e partiel du TD 1 I Exercices

E Exercice: Explosion combinatoire Donn´ees

n∈IN est le nombre de patients.

d ∈ (INn)n est la matrice des dur´ees de parcours. di,j est le temps n´ecessaire pour aller du patient i au patient j.

Mod`ele non lin´eaire

La variable de d´ecision est le vecteurp∈ {1,2, . . . , n}n. Isabelle visite dans l’ordre les patients p1, p2, . . . pn.

Les contraintes sont :

∀i 1≤pi ≤n

∀i pi ∈ZZ

∀i ∀j i < j =⇒ pi 6=pj

L’objectif est la dur´ee totale des d´eplacements effectu´es, qu’il faut mimimiser:

f(p) =

n1

X

i=1

dpi,pi+1

Mod`ele lin´eaire avec O(n2) variables binaires et O(n3) contraintes Les variables de d´ecision sont les deux matrices binaires : s, t∈({0,1}n)n. si,j = 1 ssi le patient j est visit´e juste pr`es le patient i.

ti,j = 1 ssi le patient j est visit´e pr`es le patient i.

La diagonale de ces deux matrices n’est pas d´efinie. Il n’y a que 2n(n−1) variables binaires.

Dans ce qui suit on omet les contraintes et les termes des sommes contenant si,i ou ti,i. Par exemple X

i

X

j

si,j est une somme de n(n−1) termes (et non pas n2 termes). De mˆeme ∀i ∀j ti,j ∈ZZ repr´esente seulement n(n−1) contraintes.

Les contraintes sont :

∀i ∀j 0≤si,j ≤1

∀i ∀j si,j ∈ZZ

∀i ∀j 0≤ti,j ≤1

∀i ∀j ti,j ∈ZZ

∀i X

j

si,j ≤1 On part de chez le patient i au plus une fois.

∀i X

j

sj,i ≤1 On arrive chez le patient i au plus une fois.

X

i

X

j

si,j =n−1 Il y a n−1 d´eplacements entre les patients.

∀i ∀j si,j ≤ti,j On ne recule pas.

∀i ∀j ti,j +tj,i = 1 i est visit´e ou bien avant, ou bien apr`es j.

∀i ∀j ∀k si,j+sj,k+sk,i ≤2. L’ordre est transitif: x < y et y < z =⇒ x < z.

1

(2)

Sans les contraintes faisant intervenir les ti,j, les d´eplacements choisis pourraient for- mer un chemin accompagn´e d’une ou plusieurs boucles. Les ti,j d´efinissent un ordre total sur les patients et les d´eplacements s’effectuent en suivant cet ordre. Il n’y a donc pas de boucle, car on ne revient jamais en arri`ere.

L’objectif est: f(s, t) =X

i

X

j

si,jdi,j

On peut ne garder qu’une moiti´e de la matricetd’un cot´e de la diagonale. Par exemple on garde lesti,j avec i < j et on remplace partout tj,i par 1−ti,j. De la sorte il n’y a plus que 3n(n−1)/2 variables binaires au lieu de 2n(n−1).

La transitivit´e de l’ordre demande n(n−1)(n−2)/3 = O(n3) contraintes. Le nom- bre des autres contraintes est O(n2). La mod´elisation lin´eaire du voyageur de commerce propos´ee sur coursenligne utilise 2n contraintes. n3 =o(2n).

Mod`ele lin´eaire plus compact

Les variables de d´ecision sont la matrice binaire : s ∈ ({0,1}n)n et le vecteur u ∈ {1,2, . . . , n}n.

si,j = 1 ssi le patient j est visit´e juste pr`es le patient i.

ui est le rang de visite du patient i.

La diagonale de la matrice s est nulle.

Les contraintes sont :

∀i ∀j 0≤si,j ≤1

∀i ∀j si,j ∈ZZ

∀i X

j

si,j ≤1 On part de chez le patient i au plus une fois.

∀i X

j

sj,i ≤1 On arrive chez le patient i au plus une fois.

X

i

X

j

si,j =n−1 Il y a n−1 d´eplacements entre les patients.

∀i ∀j ui+nsi,j ≤n−1 +uj Si on va de i chez j alors ui+ 1≤uj.

∀i 1≤ui ≤n

∀i ui ∈ZZ

L’objectif est: f(s, t) =X

i

X

j

si,jdi,j

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