Corrig´ e du Partiel

T´el´echarg´e depuis http://www.math.u-psud.fr/efischler/enseignement.html

S1 PCST, Option Math 152 Univ. Paris-Sud, Orsay Bases du raisonnement math´ematique 13 novembre 2015

Corrig´ e du Partiel

Exercice 1 - La n´egation est :

∀a∈N ∀b∈N ∃c∈N

(a=c) ou (a²+b≥c)

.

Exercice 2 -

(a) VRAIE. Soitx∈N. Soity∈N. Supposons quex≥2y+ 1. Alors on ax+ 3≥2y+ 4≥ 2y≥y cary ≥0.

(b) FAUSSE. Posons x= 0 et y = 3. Alorsx ≥2y+ 1 est fausse etx+ 3≥y est vraie, donc la phrase logique (x≥2y+ 1)⇔(x+ 3≥y) est fausse.

(c) VRAIE. Posons x = 1 et y = 0. Alors les phrases logiques x ≥2y+ 1 et x+ 3 ≥y sont vraies, donc la phrase logique (x≥2y+ 1)⇔(x+ 3≥y) est vraie.

Exercice 3 - Soient x, x⁰ ∈]2,+∞[. Supposons x < x⁰. Alors on a 4x < 4x⁰ donc 4x−1<

4x⁰ −1. En outre 4x−1 et 4x⁰−1 sont strictement positifs car x, x⁰ ∈]2,+∞[. Donc on a

1

4x−1 > _4x¹0−1 ce qui donne f(x)> f(x⁰).

Exercice 4 - On a 0≤1 et g(0) = 1< g(1) = 2. Doncg n’est pas d´ecroissante sur R.

Exercice 5 - Soitε >0. PosonsN = _2ε¹ (ou alorsN = [_2ε¹] + 1 si on veut queN soit entier).

Soitn≥N. Alors on a

|u_n−(−3)|=

(−1)ⁿ 2n+ 1

= 1

2n+ 1 ≤ 1

2N+ 1 ≤ 1 2N ≤ε.

Exercice 6 - Il existe des r´eels M et M⁰ tels que pour tout n ∈ N on ait |u_n| ≤ M et

|v_n| ≤M⁰. PosonsM⁰⁰=M +M⁰. Soitn∈N. On a :

|w_n|=|u_n+v_n| ≤ |u_n|+|v_n| ≤M+M⁰ =M⁰⁰.

Exercice 7 - Raisonnons par l’absurde, en supposant` > α. Posons ε= <sup>1</sup><sub>2</sub>(`−α) ; on a alors ε >0. Comme limn→+∞u_n=`, il existeN ∈N tel que pour toutn≥N on ait|u<sub>n</sub>−`| ≤ε, ce qui signifie`−ε≤u<sub>n</sub>≤ `+ε. Or`−ε=`− ¹₂(`−α) =α+<sup>1</sup><sub>2</sub>(`−α) > α, donc on en d´eduituN > α. Cela contredit l’hypoth`ese selon laquelle pour toutn∈Non aun≤α.