CORRIG´ E MINES-PONTS MP MATH 1

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Premi` ere partie 14

(1) I n =

Z n 0

ln(x + n + 1) − ln(x + 1) dx = (2n + 1) ln(2n + 1) − 2(n + 1) ln(n + 1) 2 (2)

I n = (2n + 1)

ln n + ln 2 + 1 2n − 1

8n ² + o 1

n ²

− 2(n + 1)

ln n + 1 n − 1

2n ² + o 1

n ²

= 2n ln 2 − ln n + ln 2 − 1 − 3 4n + o

1 n

. 4

(3) Pour i et j entiers naturels (non nuls dans l’in´egalit´e de droite), on a par monotonie : Z i +1

i

Z j +1 j

dx dy x + y + 1 ⁶

1 i + j + 1 ⁶

Z i i− 1

Z j j− 1

dx dy x + y + 1

On somme l’in´egalit´e de gauche pour i et j variant de 0 `a n − 1, et l’in´egalit´e de droite pour i et j variant de 1 `a n − 1, puis on rajoute `a droite les termes (i = 0, 1 ⁶ j ⁶ n − 1), (j = 0, 1 ⁶ i ⁶ n − 1) et (i = 0, j = 0), ce qui donne l’encadrement :

I n 6 S n 6 I n− 1 + 1 + 2 1

2 + . . . 1 n

6 I n + 1 + 2 1

2 + . . . 1 n

. 4

(4) ¹ ₂ + . . . _n ¹ est ´equivalent `a ln n (th´eor`eme de comparaison s´erie-int´egrale), et (cf. 2.) I n ∼ 2n ln 2, donc S n

2n ln 2 → 1, soit S n ∼ 2n ln 2. . . 2 (5) On d´eveloppe le carr´e, ce qui donne une somme double finie que l’on ´echange avec

l’int´egrale :

J n = X

0 6 i,j 6 n− 1

Z 1 0

x ^i+j dx = X

0 6 i,j 6 n− 1

1

i + j + 1 = S n ∼ 2n ln 2 2

Seconde partie 54

(6) Si (x 1 , . . . x n ) est une base orthonorm´ee de E, alors k P n

i =1 a i x i k ² = P n

i =1 a ² _i pour tout n-uplet (a 1 , . . . a n ), donc (x 1 , . . . x n ) est une suite 1-presque orthogonale. . . 1 Inversement, si cette suite finie est 1-presque orthogonale, alors

∀ (a 1 , . . . a n ) ∈ R ⁿ , k X n

i =1

a i x i k ² = X a ² _i .

Pour i et j distincts, on prend a i = a j = 1 et les autres a k nuls, ce qui donne k x i + x j k ² = 2 = k x i k ² + k x j k ² + 2(x i | x j )

d’o` u (x i | x j ) = 0, donc (x 1 , . . . x n ) est une famille orthonormale donc libre (cf. question 7.) de n vecteurs en dimension n, c’est par cons´equent une base orthonorm´ee de E. 4

1

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(7) Supposons P n

i=1 a i x i = 0. On calcule sa norme au carr´e et on utilise l’hypoth`ese ii, pour obtenir P n

i=1 a ² _i = 0, donc tous les a i sont nuls, et la famille est libre.. . . 2 (8) Si la suite (P n ) est µ-presque orthogonale,

1

µ ln(2n − 1) = 1 µ

Z n−1 0

dx 2x + 1 ⁶

1 µ

n− 1

X

k =0

1 2k + 1 ⁶

n− 1

X

k =0

√ 1

2k + 1 P k

2

6 µ

n− 1

X

k=0

1

2k + 1 ⁶ µ

Z n− 1 0

dx 2x + 1 + 1

= µ

1 + ln(2n − 1) 2

On reconnaˆıt au milieu l’int´egrale J n , d’o` u J n

n ⁶ µ n

P 2n k=1

1

k ∼ µ ln(2n)

n , soit J n

n → 0, ce qui est en contradiction avec le r´esultat trouv´e `a la question 5. . . 6 (9) Avec les notations de l’´enonc´e, ^t AM A = P

i,j a i a j (V i | V j ) = k P

i a i V i k ² .

Supposons M A = 0, alors ^t AM A = 0, or la famille (V 1 , . . . V n ) est libre donc A = 0, d’o` u M est inversible. . . 2 M ´etant sym´etrique r´eelle, elle est diagonalisable en base orthonorm´ee, donc il existe P orthogonale et D diagonale sans aucun coefficient diagonal nul tels que M = ^t P DP . 1 (10) k W k ² = P

i,j a i a j (V i | V j ) = ^t AM A. . . 1 (11) k W k ² = ^t (P A)D(P A) = P

i λ i b ² _i , en notant (b 1 , . . . b n ) le vecteur P A et (λ 1 , . . . λ n ) les

´el´ements diagonaux de D. Cette quantit´e est strictement positive pour tout vecteur W non nul, donc pour tout n-uplet (b 1 , . . . , b n ) non nul (car P est inversible). Il en r´esulte facilement que tous les λ i sont strictement positifs. . . 2 Si α est la plus petite valeur propre de M et β la plus grande, on en d´eduit l’encadrement

√ α k B k ⁶ k W k ⁶ p

β k B k . 2

(12) P ´etant orthogonale, k B k = k A k , i.e P

i b ² _i = P

i a ² _i . On choisit µ > max(β, _α ¹ ). La question pr´ec´edente conduit donc `a l’encadrement _µ ¹ P

i a ² _i ⁶ k W k ^{2 6} µ P

i a ² _i , donc (V 1 , . . . , V n ) est µ-presque orthogonale. . . 3 (13) On va d´emontrer que pour tout entier n ^> 1 et toute suite (k 1 , . . . k n ) convenable, les

valeurs propres de la matrice M = (V k

i

| V k

j

)

1 6 i,j 6 n sont comprises entre α − 3 α − 1 et α + 1

α − 1 .

Soit λ une telle valeur propre et (x 1 , . . . x n ) un vecteur propre associ´e. On a donc

∀ i, λx i = x i + P

j6 = i m ij x j . Choisissons l’entier i tel que | x i | soit maximal, donc stricte- ment positif.

| λ − 1 || x i | ⁶ X

j6 = i

1

α ^|k

^j

^−k

ⁱ

^| | x i | ⁶ | x i | X ∞

p=1

2 α ^p

car les indices k j sont deux `a deux distincts et sup´erieurs ou ´egaux `a 1 donc pour tout entier p, il ne peut y avoir au plus que 2 valeurs de j telles que | k i − k j | = p. En simplifiant, il vient | λ − 1 | ⁶ 2

α − 1 , or λ est r´eel, d’o` u l’encadrement voulu.

Or α > 3, donc 0 n’est pas valeur propre de M, donc la suite (V n ) _{n >} 1 est libre, et en util- isant la question 12, pour tout n-uplet convenable (k 1 , . . . k n ), la suite (V k

₁

, . . . V k

n

) est µ- presque orthogonale, avec µ ^>

α + 1 α − 1

2 et

α − 1 α − 3

, d’o` u un choix de µ ind´ependant

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de l’entier n, ce qui ach`eve de montrer que la suite (V n ) _{n >} 1 est presque orthogonale. 7 On peut proposer une d´emonstration plus directe :

On a

P n p =1

a p V p

2

= X n

p=1

a ² _p

| {z }

A

+ X

p6 = q

a p a q (V p | V q )

| {z }

B

. Majorons | B | :

| B | ⁶ X

p6 =q

| a p | . | a q | 1 α ^{|p−q| 6}

1 2

X

p6 =q

(a ² _p + a ² _q ) 1 α ^|p−q|

6 1 2

X

p6 = q

a ² _p 1 α ^|p−q| + 1

2 X

p6 = q

a ² _q 1

α ^|p−q| = X

p6 = q

a ² _p 1 α ^|p−q|

6

X n

p =1

a ² _p

X n

q=1,q6 =p

1 α ^|p−q|

!

6 A2

n− 1

X

i=1

1 α ⁱ Or

n− 1

P

i =1

1 α ^{i 6}

P ∞ i =1

1

α ⁱ = 1

α − 1 soit | B | ⁶ 2

α − 1 A d’o` u l’encadrement A α − 3

α − 1 = A

1 − 2

α − 1

6

X n

p =1

a p V p

2

6 A

1 + 2

α − 1

= A α + 1 α − 1 et on prend µ = max

α + 1

α − 1 , α − 1 α − 3

. (14) x 7→ f (x, 1) a pour d´eriv´ee

√ 3(1 − x)

√ 2x + 1(2 + x) ² qui est n´egative. . . 1 y 7→ f(1, y) = 1.

G : x 7→ 2 √ x

1 + x a pour d´eriv´ee 1 − x

√ x(1 + x) ² qui est n´egative. . . 1 y 7→ lim x→∞ f (x, y) = 0.

f y : x 7→ f (x, y) a pour d´eriv´ee y ² √

2y + 1(1 − x) (y + xy + 1) ² √

2xy + 1 qui est n´egative. . . 1 f x : y 7→ f (x, y) a pour d´eriv´ee − y(1 − x) ²

√ 2y + 1 √

2xy + 1(y + xy + 1) ² qui est n´egative. . . . 2 Toutes les fonctions ´etudi´ees sont donc d´ecroissantes (et parfois constantes).

(15) f y est continue et strictement d´ecroissante sur [1, + ∞ [ donc r´ealise une bijection de [1, + ∞ [ sur ] lim _x→ + ∞ f y , f y (1)] =]0, 1], donc γ poss`ede un ant´ec´edent not´e ϕ γ (y), i.e f(ϕ γ (y), y) = γ. . . 2 G est continue strictement d´ecroissante, donc est une bijection de ]1, + ∞ [ dans ]0, 1[, d’o` u l’existence de β > 1 tel que G(β) = γ. . . 2 f x ´etant d´ecroissante, G(x) ⁶ f (x, y), donc G(ϕ γ (y)) ⁶ f(ϕ γ (y), y) = γ = G(β), donc ϕ γ (y) ^> β pour tout y. . . 2 (16) Si µ = 1, alors d’apr`es 6, la suite (Q i ) est orthonormale, or

(Q i | Q j ) =

√ 2k i + 1 p

2k j + 1 k i + k j + 1 > 0

contradiction. . . 2

Si k i = 0 alors on a k i+1 > βk i pour tout β. . . 1

On suppose maintenant que k i > 0.

4 CORRIG ´ E MINES-PONTS MP MATH 1

La µ-presque orthogonalit´e s’´ecrit

∀ (a i ) 1 6 i 6 n , 1 µ

X

i

a ² _i ⁶ X

i,j

a i a j

√ 2k i + 1 p

2k j + 1

k i + k j + 1 ⁶ µ X

i

a ² _i

En appliquant cette double in´egalit´e pour n = 2, avec a i +1 = − a i = 1

√ 2 on obtient finalement

1 µ ⁶ 1 −

√ 2k i + 1 p

2k i+1 + 1 k i + k i+1 + 1 ⁶ µ.

On pose alors θ i = k i +1

k i

. On pose γ = 1 − 1

µ ∈ ]0, 1[. . . 6 Alors la condition s’´ecrit ∀ i, f (θ i , k i ) ⁶ γ = f (ϕ γ (k i ), k i ) d’o` u θ i > ϕ γ (k i ). D’apr`es 15., il existe β tel que G(β) = γ et dans ce cas ϕ γ (y) ^> β pour tout y, d’o` u θ i > β.

En conclusion, k i+1 > βk i pour tout i ∈ N .. . . 3