CORRIG´ E MINES 2008 MATHS 1

CORRIG´ E MINES 2008 MATHS 1

I Permanent

(1) Soit M = (m

1

, . . . , m

n

) ∈ M

^n,n

( R ). On a alors | per M | 6 X

σ∈Sn

n

Y

i=1

| m

i,σ(i)

| . Classique- ment | m

i,σ(i)

| 6 k m

σ(i)

k ; d’autre part, puisque σ est une permutation, σ(i) d´ecrit I

n

quand i d´ecrit I

n

, donc, pour tout σ ∈ S

_n

:

n

Y

i=1

| m

i,σ(i)

| 6

n

Y

i=1

k m

σ(i)

k =

n

Y

j=1

k m

j

k .

Enfin la somme contient Card S

_n

= n! termes, ce qui fournit bien

| per M | 6 n!

n

Y

j=1

k m

j

k .

(2) Soient M = (m

1

, . . . , m

n

), R = (r

1

, . . . , r

n

), et P

j

= (m

1

, . . . , m

j

, r

j+1

, . . . , r

n

) pour j ∈ { 0, . . . , n } . On a en particulier P

₀

= R et P

n

= M , donc par t´elescopage

| per M − per P | =

n

X

j=1

(per P

j

− per P

j−1

) 6

n

X

j=1

| per P

j

− per P

j−1

|

Or per P

j

− per P

j−1

= per(m

1

, . . . , m

j−1

, m

j

− r

j

, r

j+1

, . . . , r

n

) par multilin´earit´e. Il ne reste donc qu’`a appliquer l’in´egalit´e du 1 `a ce dernier permanent pour obtenir le r´esultat demand´e.

(3) Supposons dans un premier temps j = n. Pour tout i ∈ I

n

, notons P

ⁱ

l’ensemble des permutations σ de I

n

v´erifiant σ(i) = n ; cela revient `a dire que σ

⁻¹

(n) = i, S

_n

est donc la r´eunion disjointe des P

ⁱ

. Par suite per M =

n

X

i=1

m

i,n

X

σ∈Pi

Y

k6=i

m

k,σ(k)

.

Fixons i ∈ I

n

. Posons M

^′

= M (i | n). Soit τ la bijection de I

n

\ { i } dans I

_n−1

qui associe `a un num´ero de ligne dans M, le num´ero de la ligne correspondante dans M

^′

; autrement dit, τ (k) vaut k si k < i, k − 1 sinon. On a alors

Y

k6=i

m

k,σ(k)

= Y

k6=i

m

^′_τ(k),σ(k)

=

n−1

Y

l=1

m

^′_l,σ(τ−1

(l))

par le changement d’indice l = τ(k).

Si σ ∈ P

ⁱ

, alors elle r´ealise une bijection de I

n−1

dans I

n

\{ i } , donc σ

^′

: l 7−→ σ(τ

⁻¹

(l)) est une permutation de I

n−1

. L’application σ 7−→ σ

^′

est clairement injective (composition par une bijection), et les ensembles P

ⁱ

et S

ⁿ⁻¹

ont mˆemes cardinaux, donc σ 7−→ σ

^′

est une bijection de l’un dans l’autre. Par suite

X

σ∈Pi

Y

k6=i

m

k,σ(k)

= X

σ∈Pi

n−1

Y

l=1

m

^′_l,σ(τ−1(l))

= X

σ^′∈Sn−1

n−1

Y

l=1

m

^′_l,σ′(l)

= per M

^′

ce qui fournit le r´esultat demand´e dans le cas j = n.

Le cas g´en´eral s’y ram`ene imm´ediatement grˆace `a la sym´etrie du permanent, puisque per M est le permanent de la matrice obtenue en permutant les colonnes j et n.

1

2 CORRIG ´E MINES 2008 MATHS 1

II - Formes quadratiques

(4) Si H et G ne sont pas en somme directe, alors leur intersection contient un vecteur u non nul, et donc le vecteur v = u/ k u k appartient `a H ∩ G ∩ S. Mais alors on doit avoir Φ

Q

(v) > 0 puisque H ∈ V

0⁺

, et Φ

Q

(v) < 0 puisque G ∈ V

⁻

, contradiction.

Puisque les dimensions possibles des sous-espaces sont en nombre fini, il existe H

0

∈ V

⁺

v´erifiant r(Φ

Q

) = dim H

0

, et G

0

∈ V

⁻

v´erifiant s(Φ

Q

) = dim G

0

. Puisque V

⁺

⊂ V

0⁺

, ces deux sous-espaces sont en somme directe d’apr`es ce qui pr´ec`ede, et donc r(Φ

Q

)+s(Φ

Q

) = dim(H

0

+ G

0

) 6 dim R

ⁿ

= n.

(5) Puisque Q est sym´etrique r´eelle, on sait que R

ⁿ

admet une base orthonormale de vec- teurs propres pour Q. Posons p = n

⁺

(Q), et choisissons une telle base orthonormale (e

1

, . . . , e

n

), en num´erotant les vecteurs de mani`ere `a ce que les p premiers vecteurs de la base soient associ´es `a des valeurs propres strictement positives, not´ees µ

1

, . . . , µ

p

. Soit enfin H = Vect(e

1

, . . . , e

p

).

Si u = P

p

i=1

x

i

e

i

∈ H \ { 0 } , alors un calcul classique fournit Φ

Q

(u) = P

p

i=1

µ

i

x

²_i

> 0 et donc H ∈ V

⁺

. Par suite r(Φ

Q

) > dim H = n

⁺

(Q).

(6) On a donc n

⁺

(Q) + n

⁻

(Q) 6 r(Φ

Q

) + s(Φ

Q

) 6 n. Or Q est inversible, donc 0 n’en est pas une valeur propre et Q est diagonalisable, donc a n valeurs propres r´eelles. Par suite n

⁺

(Q) + n

⁻

(Q) = n, ce qui entraine r(Φ

Q

) = n

⁺

(Q) et s(Φ

Q

) = n

⁻

(Q).

(7) Soient H ∈ V

⁺

de dimension r(Φ

Q

), et G ∈ V

⁻

de dimension s(Φ

Q

).

Alors S ∩ H est la sph`ere unit´e de l’espace de dimension finie H, donc est un compact de H. D’autre part, Φ

Q

, en tant que forme quadratique, est continue sur S ∩ H. Elle atteint donc un minimum m en un point u

₁

de S ∩ H ; et, puisque u

₁

∈ S ∩ H, on a m > 0. Posons δ

₁

= m/2.

Supposons κ 6 δ

1

. Alors, si x ∈ S ∩ H, Φ

R

(x) > Φ

Q

(x) − κ k x k

²

> m − m/2 > 0. Donc Φ

R

est strictement positive sur S ∩ H, et donc r(Φ

R

) > dim H = r(Φ

Q

).

De mˆeme, en prenant δ

2

= − M/2 > 0 o` u M est le maximum de Φ

Q

sur S ∩ G, on montre que s(Φ

R

) > dim G = s(Φ

Q

) si κ 6 δ

2

.

Prenons alors δ = min { δ

1

, δ

2

} . Si κ 6 δ, alors r(Φ

R

) > r(Φ

Q

) et s(Φ

R

) > s(Φ

Q

). Mais, d’apr`es les questions pr´ec´edentes, r(Φ

R

) + s(Φ

R

) = r(Φ

Q

) + s(Φ

Q

) = n, et donc les in´egalit´es pr´ec´edentes sont des ´egalit´es.

III - Espaces de Lorentz

(8) Supposons ϕ(λ) > 0 pour tout λ. Soit H = Vect(a, b) (de dimension 2 puisque (a, b) est libre), soit u = αa + βb ∈ H.

• Si β = 0, alors Φ

Q

(u) = α

²

Φ

Q

(a) > 0 ;

• Sinon, Φ

Q

(u) = β

²

Φ

Q

b + (α/β)a

= β

²

ϕ(α/β) > 0.

Donc Φ

Q

est positive ou nulle sur H, et donc H ∈ V

0⁺

.

Soit alors G ∈ V

⁻

de dimension n − 1 = s(Φ

Q

). D’apr`es la question 4, G et H sont en somme directe, alors que la somme de leurs dimensions est strictement plus grande que n : on aboutit donc `a une contradiction, ϕ prend donc obligatoirement des valeurs strictement n´egatives.

(9) Puisque Φ

Q

(a) > 0, a n’est pas nul.

• Si (a, b) est li´ee, on peut donc trouver α ∈ R tel que b = αa. On a alors B

Q

(a, b)

²

= α

²

Φ

Q

(a) = Φ

Q

(a)Φ

Q

(b) : l’in´egalit´e est v´erifi´ee, et on a ´egalit´e.

• Supposons maintenant (a, b) libre. Alors ϕ(λ) = Φ

Q

(a)λ

²

+ 2B

Q

(a, b)λ + Φ

Q

(b) est

un trinˆome du second degr´e en λ puisque Φ

Q

(a) 6 = 0, dans lequel le coefficient de

λ

²

est strictement positif, et qui prend des valeurs strictement n´egatives d’apr`es la

question pr´ec´edente. Son discriminant est donc strictement positif, ce qui donne

B

Q

(a, b)

²

> Φ

Q

(a)Φ

Q

(b). L’in´egalit´e est donc v´erifi´ee, et on n’a pas ´egalit´e.

CORRIG ´E MINES 2008 MATHS 1 3

IV - In´ egalit´ e d’Alexandrov

(10) Le polynˆome caract´eristique de Q est X

²

− 1, donc ses valeurs propres sont − 1 et 1. Par suite Q est sym´etrique et inversible, les r´esultats du II s’appliquent : donc r(Φ

Q

) = n

⁺

(Q) = 1 et s(Φ

Q

) = n

⁻

(Q) = 1.

(11) Soit j ∈ I

n

. Notons d´ej`a que la formule de d´eveloppement de la question 3 fournit, pour tout (n − 1)-uplet (u

1

, . . . , u

n−1

) de vecteurs de R

ⁿ

:

per(u

1

, . . . , u

n−1

, e

j

) = per(u

1

(j), . . . , u

n−1

(j)).

Soit c ∈ R

ⁿ

. Pour all´eger les ´ecritures, posons c

^′

= c(j) et, pour tout i ∈ I

n

, m

^′_i

= m

i

(j).

Consid´erons l’application ϕ qui, `a un couple (x, y ) de vecteurs de R

ⁿ⁻¹

, associe le nombre per(m

^′₁

, . . . , m

^′_n−3

, x, y). Par sym´etrie et multilin´earit´e du permanent, ϕ est une forme bilin´eaire sym´etrique.

La matrice de la forme quadratique associ´ee, dans la base canonique (e

^′₁

, . . . , e

^′_n−1

) de R

ⁿ⁻¹

, a pour coefficients les nombres ϕ(e

^′_k

, e

^′_l

) = per(m

^′₁

, . . . , m

^′_n−3

, e

^′_k

, e

^′_l

).

Cette matrice Q

^′

est donc la matrice associ´ee par l’´enonc´e du th´eor`eme `a la famille de vecteurs (m

^′₁

, . . . , m

^′_n−1

) de R

ⁿ⁻¹

, dont les coordonn´ees sont strictement positives ; par hypoth`ese de r´ecurrence, ( R

ⁿ⁻¹

, Q

^′

) est donc un espace de Lorentz.

D’autre part, les coordonn´ees des m

^′_i

´etant strictement positives, il est clair par d´efinition du permanent que Φ

Q^′

(m

^′_n−2

) > 0.

D’apr`es la question 9, on peut donc conclure que ϕ(m

^′_n−2

, c

^′

)

²

> Φ

Q^′

(m

^′_n−2

)Φ

Q^′

(c

^′

) avec ´egalit´e si et seulement si m

^′_n−2

et c

^′

sont colin´eaires ; ce qui constitue le r´esultat demand´e, compte tenu de la remarque faite au d´ebut de la question.

(12) Notons d´ej`a que, en adaptant un raisonnement fait `a la question pr´ec´edente, on voit facilement que Φ

Q

(u, v) = per(m

1

, . . . , m

n−2

, u, v) pour tout couple (u, v) de vecteurs de R

ⁿ

. On en d´eduit

0 = Qc · c = Φ

Q

(c) = per(m

₁

, . . . , m

_n−2

, c, c)

= per(m

1

, . . . , m

n−3

, c, c, m

n−2

)

=

n

X

j=1

m

j,n−2

per(m

1

, . . . , m

n−3

, c, c, e

j

) par lin´earit´e par rapport `a la derni`ere variable.

(13) Compte tenu des remarques pr´ec´edentes, le premier permanent est Φ

Q

(c, e

j

) = e

j

· Qc = 0.

Comme vu en 11, le deuxi`eme permanent vaut per(m

₁

(j), . . . , m

_n−2

(j), m

_n−2

(j)), et donc est strictement positif, puisque les coordonn´ees des vecteurs concern´es sont toutes strictement positives.

(14) Soit donc c tel que Qc = 0. En appliquant l’in´egalit´e du 11, l’´egalit´e du 13 fournit pour tout j : per(m

1

, . . . , m

n−2

, m

n−2

, e

j

) × per(m

1

, . . . , m

n−3

, c, c, e

j

) 6 0.

De plus per(m

1

, . . . , m

n−2

, m

n−2

, e

j

) > 0 donc per(m

1

, . . . , m

n−3

, c, c, e

j

) 6 0 pour tout j.

Enfin, puisque les nombres m

n−2,j

sont tous strictement positifs, l’´egalit´e du 12 montre que per(m

1

, . . . , m

n−3

, c, c, e

j

) = 0 pour tout j.

On a donc en fait ´egalit´e dans l’in´egalit´e du 11, donc, puisque m

n−2

(j) 6 = 0, il existe λ

j

tel que c(j) = λ

j

m

n−2

(j). Puisque per(u

1

, . . . , u

n−1

, e

j

) ne d´epend pas des j-i`emes composantes des u

i

, on en d´eduit

0 = per(m

1

, . . . , m

n−3

, c, c, e

j

) = per(m

1

, . . . , λ

j

m

n−2

, λ

j

m

n−2

, e

j

)

= λ

²_j

per(m

1

, . . . , m

n−2

, m

n−2

, e

j

)

et donc λ

j

= 0 pour tout j, d’o` u c = 0. La matrice Q est donc inversible.

4 CORRIG ´E MINES 2008 MATHS 1

(15) Par d´efinition du permanent, pour tout (i, j), le coefficient en position (i, j) de Q

0

vaut B

0

(e

i

, e

j

) = P

σ∈Sn

e

i,σ(n−1)

e

j,σ(n)

. C’est donc le nombre de permutations de S

_n

v´erifiant σ(n − 1) = i et σ(n) = j ; il vaut donc 0 si i = j , (n − 2)! sinon.

Consid´erons la matrice J ∈ M

ⁿ

( R ) dont tous les coefficients valent (n − 2)!. Claire- ment J est de rang 1, donc admet 0 pour valeur propre `a l’ordre n − 1 ; et sa derni`ere valeur propre vaut Tr J − (n − 1) × 0 = n(n − 2)!.

Puisque Q

0

= J − (n − 2)!I

n

, ses valeurs propres sont − (n − 2)!, `a l’ordre n − 1, et n(n − 2)! − (n − 2)! = (n − 1)! `a l’ordre 1.

Puisque 0 n’est pas valeur propre, Q

0

est sym´etrique r´eelle et inversible : la partie III fournit donc r(Φ

Q0

) = n

⁺

(Q

0

) = 1 et s(Φ

Q0

) = n

⁻

(Q

0

) = n − 1.

(16) Pour all´eger les ´ecritures, posons p

i

= θm

i

+ (1 − θ)e et p

^′_i

= θ

^′

m

i

+ (1 − θ

^′

)e pour tout i ∈ I

n−2

. Soient x et y dans R

ⁿ

. La question 2 fournit

| B

θ

(x, y) − B

θ^′

(x, y) | 6 n!

n−2

X

j=1

k p

1

k · · · k p

j−1

k k p

j

− p

^′_j

k k p

^′_j+1

k · · · k p

^′_n−2

k k x k k y k les deux derniers termes de la somme du 2 ´etant ici nuls.

Or, puisque θ ∈ [0, 1], on a pour tout i k p

i

k 6 θ k m

i

k + (1 − θ) k e k 6 k m

i

k + k e k = k m

i

k + √

n ; de mˆeme k p

^′_i

k 6 k m

i

k + √

n ; et, pour tout j, k p

j

− p

^′_j

k = | θ − θ

^′

| k m

j

− e k 6

| θ − θ

^′

| ( k m

j

k + √ n).

En rempla¸cant dans l’in´egalit´e pr´ec´edente, on obtient le r´esultat demand´e, avec un facteur n − 2 au lieu du facteur n demand´e, d’o` u l’on d´eduit imm´ediatement l’in´egalit´e cherch´ee.

(17) Notons d´ej`a que, pour tout θ ∈ [0, 1], les composantes des vecteurs θm

i

+ (1 − θ)e sont toutes strictement positives (barycentres `a coefficients positifs de nombres strictement positifs). On peut donc en particulier appliquer le r´esultat de la question 14 `a Q

θ

, ce qui montre que Q

θ

est sym´etrique r´eelle et inversible pour tout θ ∈ [0, 1].

Soit alors θ ∈ [0, 1]. En combinant les r´esultats des questions et 16, on en d´eduit qu’il existe δ > 0 tel que, si n.n! | θ − θ

^′

| Q

n−2

j=1

( k m

j

k + √

n) 6 δ alors r(Φ

Qθ

) = r(Φ

Q_θ′

). En posant α = δ

n.n! Q

n−2

j=1

( k m

j

k + √ n)

−1

, on en d´eduit que l’application θ

^′

7−→ r(Φ

Qθ′

) est constante sur [θ − α, θ + α] ∩ [0, 1], donc en particulier continue en θ.

Mais alors cette application est continue sur l’intervalle [0, 1] et `a valeurs dans Z , elle est donc constante sur [0, 1], et donc r(Φ

Q1

) = r(Φ

Q0

) = 1. L’´egalit´e pour s se d´emontre de mˆeme.

(18) Puisque Q

1

est la matrice Q de l’´enonc´e du th´eor`eme, les r´esultats des questions 14 et 17 finissent d’´etablir le th´eor`eme 1 : donc ( R

ⁿ

, Q) est un espace de Lorentz.

D’autre part, Φ

Q

(m

_n−1

) = per(m

₁

, . . . , m

_n−1

, m

_n−1

) > 0 (vecteurs `a coordonn´ees

strictement positives). On peut donc appliquer le r´esultat de la question 9 au couple

(a, b) = (m

_n−1

, b), ce qui fournit l’in´egalit´e demand´ee.