Math ´e matiques

(1)

Math´ematiques

Alg` ebre Lin´ eaire

INSA - 1` ere ann´ ee

Sandrine Scott

(2)

Sommaire Concepts Notions

Exemples Exercices Documents suivantI

1 Remerciements

Je tiens à remercier ici les collègues qui m’ont aidée dans l’élaboration de ce cours, en particulier, Fran¸coise Bernis, Raymonde Cassinet, Jean-Louis Dunau et Luc Méallarès.

(3)

Sommaire Jpr´ec´edent

2 Introduction

Ce cours a été élaboré pour des élèves de formation continue, il est donc moins théorique et moins approfondi qu’un cours classique de 1ère année. Il constitue cependant une bonne base de travail pour des élèves de 1ère année (ou de 2ème année entrant à l’insa sans avoir fait d’algèbre linéaire auparavant) pour les aider à comprendre certaines définitions et certains résultats. Il ne se substitue en aucun cas au cours de l’UV 4 de mathématiques de 1ère année.

(4)

Exemples Exercices Documents

suivantI

Chapitre I

Espaces vectoriels

I.1 D´efinitions. . . 5

I.2 Sous-espace vectoriel . . . 7

I.3 Partie g´en´eratrice . . . 8

I.4 Partie libre, Partie li´ee . . . 9

I.5 Base d’un espace vectoriel . . . 10

I.6 Dimension d’un espace vectoriel . . . 11

(5)

Sommaire chapitreN suivantI

I.1 D´ efinitions

Exemples: Exemple A.1.1 Exemple A.1.2 Exemple A.1.3

Exercices: Exercice B.1.1

Soient un ensembleE, un corpsK (=RouC) et deux lois

+ : E×E −→ E (loi interne)

(v₁, v₂) 7−→ v₁+v₂ et . : K×E −→ E (loi externe) (λ, v) 7−→ λ.v

(E,+, .) est unespace vectorielsur le corpsK si les propriétés suivantes sont vérifiées : 1. La loi interne notée + doit

(a) ˆetre commutative c’est-`a-dire pour tousv1, v2dans E, v1+v2=v2+v1

(b) être assiociative c’est-à-dire pour tousv1, v2, v3dans E, (v1+v2) +v3=v1+ (v2+v3) (c) admettre un neutre noté 0E c’est-à-dire pour toutv dans E,v+ 0E=v

(d) être telle que tout élémentvdeEadmette un symétrique c’est-à-dire que pour toutvdans

(6)

Exemples Exercices Documents chapitreN suivantI

Définitions 2. La loi externe notée.doit vérifier pour tousv1, v2 dansE et tousλ, µdansK,

(a) λ.(v1+v2) =λ.v1+λ.v2

(b) (λ+µ).v1=λ.v1+µ.v1

(c) (λµ).v1=λ.(µ.v1) (d) 1_K.v₁=v₁.

Les éléments deE sont appelés desvecteurs, ceux de Kdesscalaires.

Les r`egles de calculs sont analogues `a celles deRet on a λ.v= 0E⇐⇒λ= 0K ou v= 0E

(7)

Sommaire Jpr´ec´edent chapitreN suivantI

I.2 Sous-espace vectoriel

Soient (E,+, .) unK−espace vectoriel etF un sous-ensemble deE.

(F,+, .) est unsous-espace vectorieldeE siF 6=∅ et si pour tousv1, v2 deF et toutλdeK alors

λ.v1+v2∈F On dit queF est stable pour les lois + et.

Th´eor`eme I.1 Un sous-espace vectoriel est un espace vectoriel

D´emonstration

Remarque: Si un sous-ensembleF deE ne contient pas 0E, il ne peut pas ˆetre un sous-espace vectoriel (pas de neutre pour l’addition).

(8)

Exemples Exercices Documents Jpr´ec´edent chapitreN suivantI

I.3 Partie g´ en´ eratrice

Exemples: Exemple A.1.7 Exemple A.1.8

SoitEun espace vectoriel surK, etAune partie non vide deE.

On appellecombinaison linéaire d’éléments deAtout vecteur de la forme : λ1x1+λ2x2+...+λmxm où ∀i λi∈K et xi∈A

Théorème I.2 L’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments de A est un sous espace vectoriel surK deE, il contient A. On l’appelle le sous espace vectoriel deE engendré parA, on le note Vect(A).

C’est le plus petit sous espace vectoriel deE contenant A.

D´emonstration

Remarque : SiF est un s.e.v. deE alorsF= Vect (F).

SiAest une partie deEtelle queE= Vect (A) alorsAest unefamille ou partie g´en´eratricede E. On dit aussi queAengendreE.

Si A engendre E alors tout élément de E s’écrit comme une combinaison linéaire d’éléments de A.

(9)

I.4 Partie libre, Partie li´ ee

SoitEun espace vectoriel surK, etv1, v2, ..., vn des vecteurs deE.

(v1, v2, ..., vn) est une partie libredeEsi et seulement si :

∀(λ1, λ2, ..., λn)∈Kⁿ h

( λ1v1+λ2v2+...+λnvn= 0E

| {z }

combinaison lin´eaire nulle desv_i

) =⇒ (∀i∈ {1,2, ..., n}λi= 0K

| {z } lesλisont tous nuls

)i

Si la famille est libre, la seule fa¸con d’obtenir 0Ecomme combinaison lin´eaire des vecteurs de cette famille est de prendre tous lesλi nuls.

Dans le cas contraire on dit que la famille estli´ee.

En d’autres termes, (v1, v2, ..., vn) est une partie li´ee de E si et seulement si elle n’est pas libre,

(10)

Base d’un espace vectoriel

I.5 Base d’un espace vectoriel

SoitE un espace vectoriel surK. SoitBune partie deE.Best unebasedeE si c’est une partie libre et g´en´eratrice deE.

Th´eor`eme I.3 SoitE un espace vectoriel sur K.

B= (e1, e2, ..., en)est une base de E si et seulement si

(∀x∈E) (∃!(λ1, λ2, ..., λn)∈Kⁿ) (x=λ1e1+λ2e2+...+λnen)

ce qui signifie queB= (e₁, e₂, ..., e_n)est une base deE si et seulement si tout vecteur de E s’ecrit de manière unique comme combinaison linéaire des éléments de B.

Lesλ_i s’appellent les composantes ou coordonn´ees du vecteurxrelativement `a la base B.

D´emonstration

(11)

Sommaire Jpr´ec´edent chapitreN

I.6 Dimension d’un espace vectoriel

Un espace vectorielEest dedimension finiesi il existe une familleAde cardinal fini qui engendre E, c’est-`a-dire si il existe des vecteurse1, e2,· · ·, ep deE tels queE= Vect (e1, e2,· · ·, ep)

Théorème I.4 (théorème admis) Toutes les bases d’un espace vectorielE de dimension finie ont le même nombre d’éléments. Si n est ce nombre, n s’appelle la dimension de E. On note n=dim E.

Un espace vectoriel admet une infinit´e de bases qui ont toutes le mˆeme nombre de vecteurs.

L’espace vectoriel{0_E}est un espace vectoriel de dimension 0 puisqu’il ne contient pas de famille libre.

Propriété I.5 SiE désigne un espace vectoriel de dimension finie, si n=dim E et siL,AetB désignent des parties deE nous avons les propriétés suivantes :

(12)

Exemples Exercices Documents Jpr´ec´edent chapitreN

Dimension d’un espace vectoriel Lerang d’une famille de vecteurs est égal à la dimension de l’espace vectoriel engendré par ces

vecteurs. On note :

rg (v1, v2, ..., vn) = dim (Vect (v1, v2, ..., vn))

(13)

Sommaire

Jpr´ec´edent suivantI

Chapitre II

Matrices et Applications lin´eaires

II.1 Matrices . . . 14 II.2 Applications lin´eaires . . . 22 II.3 Matrices d’applications lin´eaires. . . 27

(14)

chapitreN section suivanteI

II.1 Matrices

II.1.1 D´efinitions. . . 15 II.1.2 Op´erations . . . 18 II.1.3 Matrice inversible . . . 21

(15)

Sommaire sectionN suivantI

II.1.1 D´ efinitions

Unematriceà éléments dansK(=RouC) est un tableau rectangulaire rempli d’éléments deK.

A=







a₁₁ a₁₂ . . . a_1j . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2j . . . a_2n

... ... ... ...

ai1 ai2 . . . aij . . . ain

... ... ... ...

am1 am2 . . . amj . . . amn







= (aij)i∈{1,2,...,m},j∈{1,2,...,n}

Lesa_ij sont des ´el´ements deK,iest l’indice de ligne etj est l’indice de colonne.

Mmn(K) d´esigne l’ensemble des matricesmlignesncolonnes `a coefficients dansK.

La matrice

Ω =

1 2 3

4 5 6

appartient `a M23(K)

Dans le cas particulier oùn=m,M_nn(K) est notéM_n(K) et on l’appelle l’ensemble des matrices carrées d’ordrenà coefficients dansK.

Une matrice est ditediagonale sim=net si pour touti6=j dans{1,2,· · ·, n}, les coefficients

(16)

Exemples Exercices Documents sectionN suivantI

D´efinitions On note aussiD= Diag(0,1,2).

Une matrice est dite triangulaire sup´erieure (respectivement triangulaire inf´erieure) si m = n et si pour tout i > j (respectivement i < j) dans {1,2,· · ·, n}, les coefficients aij sont nuls.

Consid´erons les matrices E=





4 0 5

0 1 1

0 0 2



 et F =





2 0 0

2 1 0

2 5 2



,

alorsE est une matrice triangulaire sup´erieure d’ordre 3 etF est triangulaire inf´erieure.

Unematrice colonneest une matrice à une seule colonne. C’est une matrice deMm1(K). Elles sont très utiles pour représenter les vecteurs d’un espace vectoriel :

SoitE un espace vectoriel surK dont la famille (e₁, e₂, e₃, e₄) est une base. Soitvun vecteur de Equi s’´ecritv=e₁+ 2e₃−5e₄ alors on peut d´efinir la matrice colonneV ∈ M₄₁(K) par

V =





 1 0 2

−5







Latranspos´eed’une maticeAs’obtient en ´echangeant les lignes et les colonnes deA. On la note

tAouA^T. Ainsi, siA∈ Mnm(K) alors^tA∈ Mmn(K).

Si ∆ =





1 2

−2 1

0 −1



∈ M32(K) alors ^t∆ =

1 −2 0

2 1 −1

∈ M23(K)

(17)

(18)

Exemples Exercices Documents Jpr´ec´edent sectionN suivantI

II.1.2 Op´ erations

Exercices: Exercice B.2.1 Exercice B.2.2 Exercice B.2.3 Exercice B.2.4

Soient Aet B deux matrices deMmn(K). Notons aij les coefficients deA et bij ceux deB. On appellesomme des matricesA et B la matrice S de Mmn(K) dont les coefficients sij sont d´efinis pour touti∈ {1,2, ..., m} et toutj∈ {1,2, ..., n}parsij=aij+bij. On noteS=A+B.

Soient

Ω =

1 2 3

4 5 6

et ∆ =





1 2

−2 1

0 −1





La somme Ω + ∆ n’existe pas puisque les matrices n’ont pas le mˆeme nombre de lignes ni de colonnes.

Par contre,

Ω + ^t∆ =

1 2 3 4 5 6

+

1 −2 0

2 1 −1

=

2 0 3 6 6 5

On montre que (M_mn(K),+) a une structure de groupe commutatif.

(19)

Sommaire Jpr´ec´edent sectionN suivantI

Op´erations Soit A ∈ Mmn(K). Notons aij ses coefficients. Multiplier une matrice par un scalaire λ ∈ K,

revient à multiplier tous les coefficients par ce scalaire. Si on noteλij les coefficients de la matrice Λ, résultat de cette opération, alors pour touti∈ {1,2, ..., m} et toutj∈ {1,2, ..., n}, λij =λaij et on note Λ =λ.AAinsi

2.Ω = 2.

1 2 3

4 5 6

=

2 4 6 8 10 12

On montre que (Mmn(K),+, .) a une structure d’espace vectoriel. Il est de dimension finie et sa dimension est dimMmn(K) =mn.

Soient A ∈ Mmn(K) et B ∈ Mnp(K). Notons a_ij les coefficients de A et b_ij ceux de B. On appelleproduitdes matrices Aet B la matriceP deMmp(K) dont les coefficients p_ij sont d´efinis pour tout i ∈ {1,2, ..., m} et tout j ∈ {1,2, ..., p} parpij =

n

X

k=1

aikbkj. On note P = AB. On dit que le produit s’effectue lignes par colonnes. Cette définition sera justifiée a posteriori lorsque nous définirons les matrices d’applications linéaires.

Pour que le produit ait un sens, il faut que le nombre de colonnes de la matrice A soit ´egal au nombre de lignes de la matrticeB.

Le produit ^t∆Ω n’existe pas car le nombre de colonnes de^t∆ (en l’occurrence 3) ne correspond pas au nombre de lignes de Ω (en l’occurrence 2).

(20)

Op´erations En effet, si on noteωij,δij etpi,j les coefficients respectifs des matrices Ω, ∆ etP alors

p₁₁ =

3

X

k=1

ω_1kδ_k1= 1×1 + 2×(−2) + 3×0 =−3

p12 =

3

X

k=1

ω1kδk2= 1×2 + 2×1 + 3×(−1) = 1

p₂₁ =

3

X

k=1

ω_2kδ_k1= 4×1 + 5×(−2) + 6×0 =−6

p22 =

3

X

k=1

ω2kδk2= 4×2 + 5×1 + 6×(−1) = 7

Le produit matriciel est une loi associative et distributive par rapport `a l’addition : pour toutes matricesA, B et Ctelles que les op´erations soient possibles, nous avons

A(BC) = (AB)C et A(B+C) =AB+AC Le produit n’est pas commutatif .(cf exerciceB.2.3)

SiA∈ Mn(K) et si I_n = Diag(1,1,· · ·,1)∈ Mn(K) alorsAI_n=I_nA=A.

(21)

Sommaire Jpr´ec´edent sectionN

II.1.3 Matrice inversible

Exemples: Exemple A.2.1

Soit A ∈ Mn(K). On dit que A est inversible si il existe une matrice A⁰ ∈ Mn(K) telle que AA⁰=A⁰A=In. SiA⁰ existe, elle est unique et on la note A⁻¹.

Dans la mesure oùAet B sont inversibles, le produitABest inversible et (AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹. De même, siAest inversible alors la transposée de Aest inversible et (^tA)⁻¹= ^t A⁻¹

.

(22)

Jsection pr´ec´edente chapitreN section suivanteI

II.2 Applications lin´eaires

II.2.1 D´efinition . . . 23 II.2.2 Noyau, image et rang d’une application lin´eaire . . . 25

(23)

II.2.1 D´ efinition

Exemples: Exemple A.2.2 Exemple A.2.3 Exemple A.2.4 Exemple A.2.5

SoientE etF deux espaces vectoriels surK. Soitgune application de E dansF. g est uneapplication lin´eaire si∀(v, v⁰)∈E² ∀λ∈K

g(v+v⁰) =g(v) +g(v⁰) et g(λ.v) =λ.g(v) Remarque : Sig est lin´eaire alorsg(0E) = 0F

En effet, pour toutxdansE,g(0_E) =g(0_K.x) = 0_K.g(x) = 0_E. On noteL(E, F) l’ensemble des applications lin´eaires deE dansF.

(24)

D´efinition Si on munit L(E, F) des lois + et . d´efinies pour les applications (cf exemple A.1.3) alors

(L(E),+, .) a une structure d’espace vectoriel surK.

Soitgune application deE dansF.

g estinjectivesi∀(v, v⁰)∈E² g(v) =g(v⁰) =⇒v=v⁰ g estsurjectivesi∀w∈F,∃v∈E tel que w=g(v).

g estbijectivesi∀w∈F,∃! v∈E tel que w=g(v) (! signifiant que pour chaquew, lev est unique)

g est bijective si et seulement sig est injective et surjective.

(25)

II.2.2 Noyau, image et rang d’une application lin´ eaire

SoientE etF deux espaces vectoriels surK etg∈L(E, F).

Lenoyaudeg, not´e Kerg, est d´efini par :

Kerg={v∈E / g(v) = 0F}=g⁻¹({0F})⊂E

Kerg est l’ensemble des antécédents pargdu vecteur nul deF. L’imagedeg, notée Img, est définie par :

Img={w∈F /∃v∈E , w=f(v)}={f(v)/ v ∈E} ⊂F

(26)

Exemples Exercices Documents Jpr´ec´edent sectionN

Noyau, image et rang d’une application linéaire Théorème II.2.1 Kerg est un sous espace vectoriel de E, Im g un sous espace vectoriel deF.

De plus on a :

g est surjective ⇐⇒ Img = F g est injective ⇐⇒ Kerg = {0E}

D´emonstration

Si Img est un sous espace vectoriel de dimension finie de F, on appelle rang deg, le réel noté rgg, égal à la dimension de Im g.

On a :

rgg = dim Img

Théorème II.2.2 (Théorème du rang) (admis)

SoientE et F deux espaces vectoriels surK, avec E de dimension finie, etg∈L(E, F). On a : dim E = dim Kerg + dim Img

Corollaire II.2.3 SoientE etF deux espaces vectoriels sur K, de mˆeme dimensionn, et g∈L(E, F). Les assertions suivantes sont ´equivalentes :

~ w w w w w

1) g est bijective 2) g est injective 3) g est surjective 4) rg g =n

D´emonstration

(27)

Sommaire

Jsection pr´ec´edente chapitreN

II.3 Matrices d’applications lin´eaires

II.3.1 Définitions. . . 28 II.3.2 Propriétés . . . 31 II.3.3 Matrice de changement de bases . . . 33 II.3.4 Rang d’une matrice . . . 36

(28)

II.3.1 D´ efinitions

SoientE etF deuxK−espaces vectoriels de dimension finie etg∈L(E, F).

L’applicationgest caract´eris´ee par la connaissance des images des vecteurs d’une base deE.

En effet, soitE = (e₁, e₂,· · ·, e_p) une base de E. Pour tout x∈E il existe (x₁, x₂,· · ·, x_p)∈K^p tel que

x=

p

X

j=1

xjej

En utilisant le fait queg est lin´eaire on obtient

g(x) =g





p

X

j=1

xjej



=

p

X

j=1

xjg(ej) (II.3.1)

Ainsi, si nous connaissonsg(ej) pour toutj∈ {1,2,· · ·, p}, l’application linéaireg est déterminée de manière unique.

(29)

D´efinitions Soit F = (f1, f2,· · ·, fn) une base de F. Pour tout j ∈ {1,2,· · ·, p}, g(ej) ∈ F et il existe

(a1j, a2j,· · ·, anj)∈Kⁿ tel que

g(e_j) =

n

X

i=1

a_ijf_i

Notons X la matrice colonne formée des coordonnées de x dans la base E, Y celle formée des coordonnées deg(x) dans la baseF et pour toutj∈ {1,2,· · ·, p},Yjcelle formée des coordonnées de g(ej) dans la baseF. Nous avons donc

X=





 x₁ x2

... x_k

... x_p





 , Y =





 y₁ y₂ ... y_k

... yn







et Y_j =





 a1j

a2j

... a_kj

... a_nj







NotonsAla matrice dont les colonnes sont les matricesYj. Nous avons

A=





a₁₁ a₁₂ . . . a_1j . . . a_1p a21 a22 . . . a2j . . . a2p

... ... ... ...

a_i1 a_i2 . . . a_ij . . . a_ip





(30)

D´efinitions Si nous ´ecrivons de fa¸con matricelle la relation (II.3.1) nous obtenons :

Y =

p

X

j=1

xjYj = x1





 a₁₁ a₂₁ ... a_k1

... an1





 +x2





 a₁₂ a₂₂ ... a_k2

... an2







+· · ·+xp





 a_1p a_2p ... a_kp

... anp







=







a11x1 + a12x2 + · · · + a1pxp

a21x1 + a22x2 + · · · + a2pxp

... ... ... ...

ak1x1 + ak2x2 + · · · + akpxp

... ... ... ...

a_n1x₁ + a_n2x₂ + · · · + a_npx_p







=AX

A s’appelle la matrice de l’application linéaire g relativement aux bases E et F. Elle est donc définie de la manière suivante :

g(e₁) g(e₂) . . . g(ej) . . . g(ep)







a11 a12 . . . a1j . . . a1p

a21 a22 . . . a2j . . . a2p

... ... ... ...

ai1 ai2 . . . aij . . . aip

... ... ... ...

a_n1 a_n2 . . . a_nj . . . a_np





 f₁ f₂ ... fi

... fn

= Mat (g,E,F)∈ Mnp(K))

(31)

II.3.2 Propri´ et´ es

Dans ce paragrapheE,F, etGdésignent des espaces vectoriels surK de dimension finie respectivement égale àn,met p.

E= (e1, e2, ..., en) (respectivementF = (f1, f2, ..., fm),G= (g1, g2, ..., gp)) d´esigne une base deE (respectivementF,G).

On v´erifie facilement les trois affirmations suivantes :

1. Soientf un élément de L(E, F) etλun élément deK alors Mat (λf,E,F) = λMat (f,E,F) 2. Soientf etg deux applications linéaires deL(E, F), on a

Mat (f+g,E,F) = Mat (f,E,F) + Mat (g,E,F)

3. Sifetgdésignent deux applications linéaires appartenant respectivement àL(E, F) et àL(F, G)

(32)

Propriétés Donc la matrice de l’application linéairef est inversible et

Mat (f⁻¹,F,E) = M⁻¹(f,E,F)

Réciproquement, si une matrice est inversible, l’application linéaire canoniquement associée est bijective.

(33)

II.3.3 Matrice de changement de bases

Nous avons déjà remarqué qu’un même espace vectoriel pouvait avoir plusieurs bases.

Soient E = (e1, e2, ..., en) et E⁰ = (e⁰₁, e⁰₂, ..., e⁰_n) deux bases du même espace vectoriel E. Soit x un vecteur de E. Notons (x1, x2,· · ·, xn) ses coordonnées dans la base E et (x⁰₁, x⁰₂,· · ·, x⁰_n) ses coordonnées dans la baseE⁰.

SoientX etX⁰ les matrices colonnes associ´ees aux coordonn´ees dexdans les basesE et E⁰. La question est de savoir quel lien existe entre les matricesX etX⁰.

Pour toutj∈ {1,2,· · ·, n}, il existe (p_1j, p_2j,· · ·, p_nj)∈Kⁿ tel que e⁰_j =

n

X

i=1

pijei

Soit I l’application linéaire définie de E, muni de la base E⁰, vers E, muni de la base E et qui pour chaque vecteur xde coordonnées (x⁰, x⁰,· · ·, x⁰) dans la base E⁰ associe ses coordonnées

(34)

Matrice de changement de bases SoitP la matrice de cette application lin´eaire alors

P =







p11 p12 . . . p1j . . . p1n

p₂₁ p₂₂ . . . p_2j . . . p_2n

... ... ... ...

pj1 pj2 . . . pjj . . . pjn

... ... ... ...

pn1 pn2 . . . pnj . . . pnn







etX =P X⁰.

P s’appelle lamatrice de passageentre les bases E et E⁰, on la noteP_EE⁰. C’est la matrice de l’applicationI relativement aux basesE⁰ etE :

P_EE⁰ = Mat (I,E⁰,E).

Il est clair que l’applicationI est bijective et que son application r´eciproque est d´efinie par : I⁻¹: (E,E) −→ (E,E⁰)

(x1, x2,· · ·, xn) 7−→ (x⁰₁, x⁰₂,· · ·, x⁰_n) ej 7−→ (p⁰_1j, p⁰_2j,· · ·, p⁰_nj) o`u pour toutj∈ {1,2,· · ·, n},

e_j =

n

X

i=1

p⁰_ije⁰_i .

Ainsi la matriceP_EE⁰ est inversible et

P_EE⁻¹0 =P_E⁰_E

(35)

Matrice de changement de bases Voyons comment est transform´ee la matrice d’une application lin´eaire lorsqu’on change de bases.

SoientE = (e1, e2, ..., en),E⁰= (e⁰₁, e⁰₂, ..., e⁰_n) deux bases du mˆeme espace vectorielE et F= (f1, f2, ..., fp),F⁰ = (f₁⁰, f₂⁰, ..., f_p⁰) deux bases du mˆeme espace vectorielF. Soient enfin

g∈L(E, F), A= Mat (g,E,F) et A⁰ = Mat (g,E⁰,F⁰). Quel lien existe-t-il entre les matrices Aet A⁰?

Soitx un vecteur de E. Notons X la matrice colonne des coordonnées de xdans la base E, X⁰ celle des coordonnées dexdans la baseE⁰ et de même, notonsY la matrice colonne des coordonnées dey=g(x) dans la baseF etY⁰celle des coordonnées dey dans la baseF⁰. Soient enfin les matrices de passageP=P_EE⁰ et Q=P_{F F}⁰.

Nous avons les relations suivantes

X=P X⁰, Y =QY⁰, Y =AX et Y⁰=A⁰X⁰ et

Y =AX⇐⇒QY⁰ =AP X⁰⇐⇒Y⁰=Q⁻¹AP X⁰ doncA⁰ =Q⁻¹AP et

Mat (g,E⁰,F⁰) =P_{F F}⁻¹0APEE⁰ (II.3.2)

(36)

Exemples Exercices Documents Jpr´ec´edent sectionN

II.3.4 Rang d’une matrice

SoitAune matrice deM_mn(K) dont les colonnes sont identifi´ees `anvecteursV₁, V₂, ..., V_ndeK^m.

V₁ V₂ . . . V_j . . . V_n

A=







a11 a12 . . . a1j . . . a1n

a21 a22 . . . a2j . . . a2n

... ... ... ...

ai1 ai2 . . . aij . . . ain

... ... ... ...

a_m1 a_m2 . . . a_mj . . . a_mn







Par définition lerang de la matrice Aest égal à la dimension de Vect (V1, V2, ..., Vn) soit à la dimension de l’espace engendré par les colonnes deA.

On note

rgA = dim Vect (V₁, V₂, ..., V_n) Remarque :

rgA ≤ min(m, n) En effet, notonsE = Vect (V₁, V₂, ..., V_n), alors rgA= dimE.

(37)

Rang d’une matrice E est un sous-espace vectoriel deK^m engendr´e par nvecteurs donc sa dimension est plus petite

que celle deK^mqui vautmet que le nombre de vecteurs g´en´erateurs, qui ici vaut n.

Soit E (respectivement F) un espace vectoriel de dimensionn (respectivement m) dont E (res- pectivementF) est une base. Soitg∈L(E, F) telle que Mat (g,E,F) =A.

Alors on a :

rg A = rgg

En effet, les vecteurs colonnes de A sont les vecteurs {g(e₁), g(e₂),· · ·, g(e_n)} qui forment une famille g´en´eratrice de Img.

On a de plus le r´esultat suivant :

∀A∈ Mmn(K), rgA = rg ^tA

Ce qui permet de d´efinir le rang d’une matrice comme la dimension de l’espace engendr´e par les lignes deA.

(38)

Chapitre III

D´eterminants

III.1 Formenlinéaire alternée . . . 39 III.2 Déterminant d’une matrice carrée . . . 41 III.3 Propriétés et calcul pratique . . . 44 III.4 Autres propriétés . . . 46

(39)

III.1 Forme n lin´ eaire altern´ ee

SoitE un espace vectoriel sur le corpsK dontE= (e1, e2,· · ·, en) est une base. On consid`ere une applicationϕ

E×E× · · · ×E −→ K (V₁, V₂,· · ·, V_n) 7−→ ϕ(V₁, V₂,· · ·, V_n) telle que

1. ϕest lin´eaire par rapport `a chaque variable :

Pour touti∈ {1,2,· · ·, n}, toutW_i∈E et toutλ∈K alors

ϕ(V1, V2,· · ·, V_i−1, Vi+λWi, Vi+1,· · ·, Vn) =

ϕ(V1, V2,· · ·, V_i−1, Vi, Vi+1,· · ·, Vn) + λ ϕ(V1, V2,· · ·, V_i−1, Wi, Vi+1,· · ·, Vn) 2. Si il existei6=j tel queV_i=V_j alors

ϕ(V₁, V₂,· · ·, V_i,· · ·, V_j,· · ·, V_n) = 0 3.

ϕ(V1, V2,· · ·, Vj,· · ·, Vi,· · ·, Vn) =−ϕ(V1, V2,· · ·, Vi,· · ·, Vj,· · ·, Vn)

(40)

Formen linéaire alternée On peut aussi démontrer le résultat suivant :

∀(V1, V2,· · ·, Vn)∈Eⁿ [(V1, V2,· · ·, Vn) libre ⇐⇒ det_E(V1, V2, ..., Vn)6= 0]

(41)

III.2 D´ eterminant d’une matrice carr´ ee

Soit la matrice carr´ee d’ordren

A=







a11 a12 ... ... ... a1n−1 a1n

a21 a22 ... ... ... a2n−1 a2n

... ... ... ... ... ... ... a_n1 ... ... ... ... a_nn−1 a_nn







On appelleC1, C2,· · ·, Cn(respectivementL1, L2,· · ·, Ln) les colonnes (respectivement les lignes) de la matriceA.

Le déterminant deA noté detA est le déterminant des vecteursC₁, C₂,· · ·, C_n par rapport à la baseE. On a

a11 a12 ... ... ... a_1n−1 a1n

a21 a22 ... ... ... a2n−1 a2n

(42)

Déterminant d’une matrice carrée donc le déterminant deA est aussi le déterminant des vecteurs L1, L2,· · ·, Ln par rapport à la base

E. On a

detA= detE(L1, L2,· · ·, Ln)

Dans le but d’expliciter det A par une relation de récurrence où A est une matrice d’ordre n on définit pour tous i, j dans {1,2,· · ·, n} les matricesAij d’ordren−1 obtenues à partir de Aen supprimant la ligneiet la colonnej.

Exemple : Soit

A=





1 −1 3

2 0 4

5 4 −2





alors,

A11=

0 4 4 −2

, A12=

2 4 5 −2

, A13= 2 0

5 4

Ceci étant défini, on a le résultat suivant.

Théorème III.1 (Développement d’un déterminant) (admis) Avec les notations précé- dentes, nous avons

detA=

n

X

i=1

(−1)^i+jaijdet Aij

on dit que l’on a développé le déterminant deApar rapport à la colonnej, ou aussi

detA=

n

X

j=1

(−1)^i+jaijdet Aij

on dit que l’on a développé le déterminant deApar rapport à la ligne i.

(43)

Déterminant d’une matrice carrée Ce théorème se démontre par récurrence surn.

Il est clair que siA= (a) alors detA=a.

Nous savons que

det a b

c d

=ad−bc

et si nous développons ce déterminant par rapport à la 2ème ligne alors det

a b c d

= (−1)²⁺¹cdet (b) + (−1)²⁺²ddet (a) =−bc+ad

Remarque : On s’aper¸coit très vite que cette méthode est lourde, surtout si la taille de la matrice augmente. Par contre cette formule est très paratique quand une ligne ou une colonne contient beaucoup de zéros.

(44)

III.3 Propri´ et´ es et calcul pratique

Par rapport à la remarque du paragraphe précédent, on souhaite essayer de faire apparaˆıtre le maximum de zéros dans une ligne ou dans une colonne d’une matriceA, sans changer le déterminant, pour ensuite développer le déterminant par rapport à cette ligne ou colonne.

SoitAune matrice carrée d’ordrendont on noteC1, C2,· · ·, Cn (respectivementL1, L2,· · ·, Ln) les colonnes (respectivement les lignes). Nous avons les propriétés suivantes :

1. Ajouter à une colonneC_i un combinaison linéaire des autres colonnes ne change pas le déter- minant deA. En effet :

detE(C1,· · ·, Ci+

n

X

j=1 j6=i

λjCj,· · ·Cn) = detE(C1,· · ·, Ci,· · ·, Cn) +

n

X

j=1 j6=i

λj detE(C1,· · ·, Cj,· · ·, Cn)

= det_E(C1, C2,· · ·, Cn) = detA car dès que deux colonnes sont égales, le déterminant est nul.

2. De même ajouter à une ligne Li un combinaison linéaire des autres lignes ne change pas le déterminant deA. En effet :

det_E(L₁,· · ·, L_i+

n

X

j=1 j6=i

λ_jL_j,· · ·L_n) = det_E(L₁,· · ·, L_i,· · ·, L_n) +

n

X

j=1 j6=i

λ_j det_E(L₁,· · ·, L_j,· · ·, L_n)

= detE(L1, L2,· · ·, Ln) = det A

(45)

Propriétés et calcul pratique car dès que deux lignes sont égales, le déterminant est nul.

3.

det_E(λ1C1, λ2C2,· · ·, λnCn) =λ1λ2· · ·λndet_E(C1, C2,· · ·, Cn)

donc multiplier une matrice carrée d’ordre n par une constante λ revient à multiplier son déterminant parλⁿ :

detλA=λⁿ detA.

(46)

III.4 Autres propri´ et´ es

SoitAune matrice deM_n(K).

1. det (AB) = detAdetB

2. Aest inversible si et seulement si detA 6= 0

En effet , nous savons que sif ∈End(E) et E de dimension finienalors f bijective⇐⇒f injective⇐⇒f surjective⇐⇒rgf =n

En transposant ceci à la matrice A, interprétée comme la matrice d’un endomorphisme on obtient en particulier

rg A=n⇐⇒A inversible et

rg A=n⇐⇒ Les vecteurs colonnes sont libres ⇐⇒ detE(C1, C2, ..., Cn)6= 0 De plus, puisqueAA⁻¹=In nous avons la formule

1 = det In= det (AA⁻¹) = det AdetA⁻¹ et

detA⁻¹ = 1 detA

(47)

Autres propriétés 3. SiAetA⁰sont deux matrices représentant le même endomorphismef alors il existe une matrice

P telle queA⁰=P⁻¹AP. On a

detA⁰= det (P⁻¹AP) = det (P⁻¹A) detP = detP⁻¹detAdetP= detA

Ainsi le déterminant d’une application linéaire ne dépend pas de la base dans laquelle on écrit sa matrice et on a

detf = detA o`u A est la matrice de f dans n’importe quelle base de E

4. On appelle comatrice de A ou bien matrice des cofacteurs deA, la matrice deMn(K) not´ee Com Ad´efinie par :

Com A = ((−1)^i+jdetAij)1≤i,j≤n

Alors siA est inversible,

A⁻¹ = 1

detA

tCom(A)

(48)

Chapitre IV

Systèmes d’équations linéaires

IV.1 Position du probl`eme . . . 49 IV.2 Pivot de Gauss . . . 51 IV.3 Syst`emes de Cramer . . . 52

(49)

IV.1 Position du probl` eme

Soit à résoudre le système d’équations linéaires deméquations et ninconnues suivant :

(S)











a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

a₃₁x₁ + a₃₂x₂ + ... + a_3nx_n = b₃

... ... ... ... ...

a_i1x₁ + a_i2x₂ + ... + a_inx_n = b_i

... ... ... ... ...

a_m−11x1 + a_m−12x2 + ... + a_m−1nxn = b_m−1 am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

Lesa_ij ainsi que les b_i sont des données, éléments deK.

Lesx_i sont lesninconnues ´el´ements deK .

1. Ecriture matricielle: On peut ´ecrire ce syst`eme de la fa¸con suivante : AX=B

o`u

x1 b1

(50)

Position du probl`eme et

A =







a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

... ... ... ...

ai1 ai2 ... ain

... ... ... ...

a_m−11 a_m−12 ... a_m−1n a_m1 a_m2 ... a_mn







2. Ecriture vectorielle: Si on noteA₁, A₂,· · ·, A_n les colonnes de la matriceAalors le syst`eme s’´ecrit

x1A1+x2A2+· · ·xnAn=B

3. Ecriture fonctionnelle: Si la matrice Areprésente l’ application linéairef deL(E, F) et si X et B sont les matrices colonnes représentant les vecteursxet balors le système sécrit aussi

f(x) =b

Résoudre ce système, c’est trouver tous les n-uplets (x1, x2,· · ·, xn) qui satisfont auxméquations.

C’est définir l’ensemble des antécédents deb parf.

Si b = 0F, l’équation f(x) = 0F est appelée équation homogène, elle représente le système homogène. Résoudre ce système revient à détermnier le noyau Kerf. On a toujours 0E ∈ Kerf donc 0_E est toujours solution du système homogène, c’est la solution triviale.

Soitx₀ une solution particulière de (S) alors on af(x₀) =bet le système à résoudre devient f(x) =f(x0) soit f(x−x0) = 0F et x−x0∈Kerf

Les solutions de (S) sont de la formez+x0o`uz∈Kerf etx0est une solution particuli`ere.

(51)

IV.2 Pivot de Gauss

Nous nous contenterons de présenter cette méthode sur trois exemples. Cette méthode consiste

`

a transformer le système en un système triangulaire (c’est-à-dire tel que la matrice du système soit triangulaire) et que l’on résout facilement en partant du bas.

Cette transformation se fait en rempla¸cant une ligne par cette ligne plus une constante fois une ligne fixée à l’avance de sorte de faire apparaˆıtre un zéro.

Les exemplesA.4.1,A.4.2et A.4.3pr´esentent les trois cas de figure possibles.

Cette m´ethode est assez pratique.

(52)

IV.3 Syst` emes de Cramer

On se place dans le cas particulier où m = n. Nous allons présenter un procédé de résolution utilisant le calcul des déterminants. Le résultat est le suivant :

Théorème IV.2 Le système (S) a une unique solution si et seulement si le déterminant de A n’est pas nul.

Dans ce cas le syst`eme(S)est qualifi´e de Cramer.

Si on note A₁, A₂,· · ·, A_n les n colonnes de A alors l’unique solution de (S) est donn´ee par les

´

egalit´es suivantes :

∀i∈ {1,2, ..., n} x_i=det_E(A1, A2, ..., A_i−1, B, Ai+1, ..., An) detA

(on a rempla¸c´e la colonnei par le vecteurB.)

D´emonstration

(53)

Sommaire

Chapitre V

R´eduction des endomorphismes

V.1 Valeurs propres, vecteurs propres . . . 54 V.2 Espace propre . . . 55 V.3 Polynˆome caract´erisitique . . . 57 V.4 Diagonalisation des endomorphismes . . . 59 V.5 Applications . . . 61

(54)

V.1 Valeurs propres, vecteurs propres

Dans tout ce chapitre, E d´esigne un K−espace vectoriel de dimension n et f est un endomorphisme deE.

Le but de ce chapitre est de trouver une baseE deE telle que Mat (f,E), la matrice def relativement à la base E, soit la plus “simple” possible, l’idéal étant lorsque Mat (f,E) est diagonale.

On appellevaleur propredef un scalaireλdeK tel qu’il existe un vecteurv deE non nul tel quef(v) = λv.

Le vecteurv est appelévecteur propredef associé à la valeur propreλ.

(55)

V.2 Espace propre

Soitλun scalaire, on note :E_λ = {v∈E, f(v) =λv}. On a : Eλ = {v∈E, f(v)−λv = 0E}

= {v∈E, (f−λ IdE)(v) = 0E}

= Ker(f−λIdE)

Par cons´equent, Eλest un s.e.v. deE puisqu’il est le noyau d’une application lin´eaire.

Siλn’est pas valeur propre def alors seul le vecteur nul v´erifief(v) =λvet Eλ={0E}.

Si au contraire λ est une valeur propre de f, alorsEλ 6= {0E} et Eλ est appel´esous espace propredeE relatif `a la valeur propreλdef et dans ce cas, dimEλ≥1.

On constate que siλest une valeur propre def, alorsE_λ est stable parf ce qui signifie que pour

(56)

Espace propre une baseEλ deEλest







λ 0 0 · · · 0

0 λ 0 0

... . .. . .. . .. ...

0 0 λ 0

0 0 . . . 0 λ







∈MdimE_λ(K)

(57)

V.3 Polynˆ ome caract´ erisitique

SoitA= (aij)i∈{1,2,···,n},j∈{1,2,···,n}∈ Mn(K).

Théorème V.3 (admis) On définit la fonction P_A(x)par PA(x) =det(A−xIn).

Cette fonction est une fonction polynˆome de degr´en, qui s’ecrit

PA(x) = (−1)ⁿxⁿ+ (−1)ⁿ⁻¹ Tr(A)xⁿ⁻¹+· · ·+ det(A) o`u Tr(A) =

n

X

i=1

aii.

Cette fonction polynôme s’appelle lepolynôme caractéristiquedeA.

Si A et A⁰ sont les matrices d’un même endomorphisme f relativement à deux bases différentes alorsPA(x) =PA⁰(x).

(58)

Polynˆome caract´erisitique puisque det (P⁻¹) = 1

detP.

Ainsi on peut définir le polymôme caractéristique def, par P_f(x) =det(f −xid_E) =det(A−xI_n) pour toute matriceAreprésentantf dans une base de E.

Th´eor`eme V.4 Les valeurs propres def sont les racines dePf.

D´emonstration

On appellemultiplicit´ed’une valeur propreλ, l’ordre de multiplicit´e deλen tant que racine de P_f. On la notem_λ.

Propriété V.5 Soitf un endomorphisme de E et Asa matrice représentative dans une base de E.

– Si dimE=n, alors f a au plusnvaleurs propres.

– SiP_f est scind´e, (ce qui sera toujours le cas siK=C) alors : – f anvaleurs propres distinctes ou non.

– La somme des valeurs propres est ´egale `a Tr(A).

– Le produit des valeurs propres de f est ´egal `a detA=det f.

D´emonstration

(59)

V.4 Diagonalisation des endomorphismes

Si λest une valeur propre de multiplicitém_λ de l’endomorphismef et siE_λ est l’espace propre associé, alors on vérifie que

1≤dimEλ≤mλ

Remarque : Simλ= 1 alors dimEλ= 1 =mλ.

Un endomorphismef est diagonalisable, s’il existe une baseV deE dans laquelle la matrice def est diagonale c’est-`a-dire,

Mat (f,V) =







λ1 0 · · · 0

0 λ2 0

... . .. . .. ... 0 0 . . . λ_n







(on noteraE la base canonique deE)

Premi`eres cons´equences : Si f est diagonalisable alors

(60)

Diagonalisation des endomorphismes 4. le polynôme caractéristique s’écrit :

Pf(x) = (λ1−x)(λ2−x)· · ·(λn−x) il est donc scind´e dansK.

Au vu de la matrice il est clair que

f est diagonalisable si et seulement si il existe une base de vecteurs propres.

On peut ´egalement montrer que la r´eunion des bases des espaces propres forme toujours une famille libre.

Nous avons de plus l’´equivalence suivante :

Théorème V.6 (Admis) f est diagonalisable si et seulement si n P_f est scindée dans K

Pour toute valeur propre λ,dim Eλ=mλ. Cas particulier important :

Corollaire V.7 Si le polynˆome caract´eristique de f an=dim E racines distinctes, alorsf est diagonalisable.

D´emonstration

(61)

V.5 Applications

1) Calcul deA^m.

SiAest diagonalisable, il existeP∈GLn(K) etD= Diag(λ1, λ2,· · ·, λn) tels queD=P⁻¹AP etA=P DP⁻¹.

On a alorsA^m=P D^mP⁻¹ avecD^m= Diag(λ^m₁, λ^m₂,· · ·, λ^m_n) . (cf l’exempleA.5.5)

2) Applications aux systèmes linéaires d’équations différentielles du premier ordre à coefficients constants.

Nous nous contenterons de pr´esenter un exemple.

(62)

Applications où x, yetz sont des fonctions de la variablet etx⁰, y⁰ etz⁰ sont leurs dérivées.

Ce syst`eme s’´ecrit matriciellement

X⁰(t) =AX(t) o`u

A =





2 0 4

3 4 12

1 2 5



 et X(t) =



 x(t) y(t) z(t)





on reconnaˆıt la matriceA de l’exempleA.5.4. Ainsi en multipliant à gauche les deux membres de l’égalitéX⁰(t) =AX(t) par la matriceP⁻¹ et en posant

Y(t) =



 x₁(t) y₁(t) z1(t)



 = P⁻¹X(t)

on obtientY⁰(t) = DY(t) oùD est diagonale, et le système est très simple à résoudre.

On résout enY(t) et on revient àX(t) grâce à la relationX(t) = P Y(t).

(voir les calculs dans l’exempleA.5.6).

3) Applications `a des suites r´ecurrentes.

Nous nous contenterons encore de pr´esenter un exemple.

Soit les suites r´ecurrentes (u_n),(v_n),(w_n) d´efinies par :

(63)

Sommaire Jpr´ec´edent

Applications



 u0

v0

w0



∈K³et ∀n≥0







un+1 = 2un + 4wn

vn+1 = 3un − 4vn + 12wn

wn+1 = un − 2vn + 5wn

Le probl`eme est d’exprimerun,vn et wn en fonction de n,u0,v0et w0. Pour cela en notantXn le vecteur



 u_n v_n w_n



on a avec les notations pr´ec´edentes :

∀n≥0 Xn+1 = AXn

Et par récurrence immédiate, on a pour toutn∈N, X_n=AⁿX₀. (voir le résultat dans l’exempleA.5.7)