MATH É MATIQUES S É RIE S

BACCALAURÉAT BLANC

MATH

É MATIQUES S

É RIE S

LYCEE DESSAIGNES SESSION 2007

Durée : 4h

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La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Dès que ce sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet.

Ce sujet comporte 5 pages (1/5 à 5/5)

On dispose de deux urnes et d'une pièce de monnaie.

L'urne ^U1 contient une boule noire et quatre boules rouges . L'urne U₂contient trois boules noires et deux boules rouges.

On procède à l'expérience aléatoire (E) suivante : On lance au hasard la pièce de monnaie:

– si le résultat du lancer est « pile » alors on tire au hasard une boule dans l'urne U₁;

– si le résultat du lancer est « face » alors on tire au hasard une boule dans l'urne U₂. 1. a) Représenter cette expérience aléatoire par un arbre pondéré .

b) Déterminer la probabilité de l'événement R « obtenir une boule rouge ».

c) Quelle est la probabilité d'avoir tiré une boule dans l'urne U₂sachant qu'on a obtenu une boule noire ?

2. On répète trois fois de manière indépendante et successive l' expérience aléatoire (E). Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de boules noires tirées .

a) Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X? b) Déterminer son espérance, sa variance et son écart type .

3. On répète n fois de manière indépendante et successive l'expérience aléatoire (E). Déterminer le plus petit entier npour lequel la probabilité d'avoir obtenu au moins une fois une boule noire est supérieure ou égale à 0,99 .

EXERCICE 2 (4 points)

Pour chacune des six affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Si l'affirmation est vraie, proposer une démonstration ; si elle est fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple .

Une réponse sans démonstration ne rapporte aucun point .

1. La fonction fest définie sur [0;∞[ [ par f 0=0 et f x=xln



^1x12



^.

Affirmation 1 : fest dérivable en 0 .

Affirmation 2 : la limite en ∞ de x f x est égale à 1 .

2. La suite u est définie pour tout entier naturel n strictement positif par u_n=ln



^nn1



^.

Affirmation 3 : la suite u converge vers 0 . Affirmation 4 : u₁u₂...u_n=ln



^n11



^.

3. Affirmation 5 : toute suite bornée est convergente .

4. Affirmation 6 : toute suite géométrique strictement croissante est divergente.

Réservé aux candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

On considère le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct O ;u ,v (unité : 1 cm).

Partie A (question de cours)

On prend comme pré requis les trois résultats suivants : 1. Si z et z’ sont deux nombres complexes non nuls, alors :

argzz ’=argzargz ’ à 2kπ près, avec k entier relatif.

2. Si z est un nombre complexe non nul, alors : arg



^1z



^{=– argz} à 2kπ près, avec k entier relatif.

3. Pour tout vecteur non nul w d’affixe z on a : argz=u ,w à 2kπ près, avec k entier relatif.

a) Soit z et z’ des nombres complexes non nuls, démontrer que : arg



^{z 'z}



^{=argz– argz ’} à 2kπ près, avec k entier relatif.

b) Démontrer que si A, B, C sont trois points du plan, deux à deux distincts, d’affixes respectives a, b, c, on a :

arg



^cb−−aa



^{= AB ;AC} à 2kπ près, avec k entier relatif.

Partie B

Les questions 1 et 2 peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre .

1. a) Résoudre dans ℂ l’équation : z²−2



^2z4=0.

On désignera par z1 la solution dont la partie imaginaire est positive et par z2 l’autre solution.

b) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres z1 et z2. c) En déduire le module et un argument du nombre complexe



^zz12



^2.

2. On considère le point M1 d’affixe



^21i, le point M2 d’affixe



^{21– i} et le point A d’affixe z_A=



²

2 .

a) Déterminer l’affixe z3 du point M3, image de M2 par l’homothétie h de centre A et de rapport –3.

b) Déterminer l’affixe z4 du point M4, image de M2 par la rotation r de centre O et d’angle – 2 . c) Placer dans le même repère les points A, M1, M2, M3 et M4.

d) Montrer que z₃−z₁ z₄−z₁=−i.

e) Donner une interprétation géométrique de

∣

^{zz34−−zz11}

∣

^{et de arg}



^{zz34−−zz11}



^.

f) Soient I le milieu du segment [M3M4] et M5 le symétrique de M1 par rapport à I.

Montrer que les points M1, M3, M5 et M4 forment un carré.

Réservé au candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité Les deux parties sont indépendantes.

Partie A

:

chiffrement de Hill par bloc de deux lettres Principe du chiffrement de Hill :

● On écrit le message à « chiffrer » en supprimant les espaces et la ponctuation.

● On découpe le message obtenu par bloc de deux lettres.

Si le message comporte un nombre impair de lettres, on convient de rajouter la lettre « X ».

● À chaque lettre, on associe un entier selon le tableau suivant :

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

● Pour un couple de lettres, on associe un couple (x, y) d'entiers selon le tableau ci-dessus.

● On calcule le couple (c, d) où c et d sont les restes respectifs de la division euclidienne de 2x3y et de x2y par 26.

● À ce couple d'entiers, on associe le couple de lettres en utilisant le tableau ci-dessus.

Par exemple, pour le message « PG », on obtient le couple (x, y) = (15, 6).

On calcule 2×153×6=48≡22 [26] et 152×6=27≡1 [26] Au couple (c, d) = (22, 1), on associe le message chiffré « WB ».

1. Coder le message « PGCD ».

2. a) Prouver que

{

^{2xx23yy≡≡dc [[2626]] ⇔}

{

^{−2cc−32dd≡≡xy [[2626]].}

b) On vient de recevoir le message secret codé « MXDH ». Déchiffrer ce message pour le rendre intelligible.

Partie B

Soit f la fonction définie pour x∈ℤ \ {−2} par f x=2x3 x2 . 1. Déterminer tous les x∈ℤ tels que f x∈ℤ.

2. On considère la suite u_n_n∈ℕ définie par

{

^{un1u0==2fun, pour n∈ℕ}

On définit deux suites p_n_n∈ℕ et q_n_n∈ℕ par p₀=2, q₀=1 et par les relations de récurrence

{

^{qpn1n1==2ppnn23qqnn, pour n∈ℕ}

a) Prouver, par récurrence sur n, que p_n et q_n sont des entiers naturels non nuls et que u_n=p_n q_n . b) Prouver que, pour tout entier naturel n, on a p_n²−3q_n²=1 .

En déduire que p_n et q_n sont premiers entre eux.

c) Déterminer trois couples x , y d'entiers naturels solutions de l'équation x²−3y²=1 .

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

Partie A

Dans une population humaine, on observe le pourcentage de personnes ayant été contaminées par le virus de la grippe en période hivernale.

On appelle p(t) le pourcentage de personnes ayant été contaminées au bout de t semaines.

On constate au début de l’épidémie (à t = 0) que 1% des personnes sont contaminées.

On admet que la fonction qui, à tout réel t appartenant à l’intervalle [0;∞[associe, ptest solution de l’équation différentielle :

(E) : y '1

5 y=8e⁻

1 5 t

.

1. Déterminer le réel a pour que la fonction f définie par ^f t=a t1e^{− 15 t}soit solution de l’équation différentielle (E).

2. Démontrer que g est solution de (E) si et seulement si g−f est solution de l’équation différentielle (E’) : y '1

5 y=0 . 3. Résoudre l’équation différentielle (E’) .

En déduire les solutions de l’équation différentielle (E).

4. En déduire l’expression de pt.

Partie B

On admet que le pourcentage de personnes ayant été contaminées par le virus de la grippe au bout de t semaines s’exprime par :

pt=8t1e^{− 15 t}pour t≥0. 1. a) Déterminer la limite de p en +∞ .

b) Étudier les variations de p et dresser son tableau de variation.

c) Tracer la courbe représentative de p dans un repère orthonormal d’unité graphique 1 cm.

2. a) Au bout de combien de temps, le maximum de cas est-il atteint ? Justifier.

b) Quel est alors le pourcentage de la population touchée ?

3. On estime que l’épidémie est inquiétante lorsqu’elle touche plus de 7 % de la population.

Déterminer graphiquement la durée de la période pendant laquelle cette épidémie est inquiétante.

4. On effectue une vaccination systématique des personnes à risque.

On estime que cette vaccination réduit de moitié le nombre de personnes atteintes.

Déterminer alors par une méthode graphique que l’on explicitera, la durée de la période

« inquiétante » après la campagne de vaccination.