Enoncé A4931 (Diophante) L’entier et son double mime
Déterminer le plus petit entier M tel qu’il existe une première suite den entiers consécutifs positifs dont la somme des carrés est égale à M et une deuxième suite de 2nentiers consécutifs positifs dont la somme des carrés est égale à 2M.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
La somme des carrés des nentiers a+ 1 à a+n est
M = (a+n)(a+n+ 1)(2a+ 2n+ 1)/6−a(a+ 1)(2a+ 1)/6 = n(6a2+ 6a(n+ 1) + 2n2+ 3n+ 1)/6.
De même, la somme des carrés des 2nentiersb+ 1 à b+ 2nest 2n(6b2+ 6b(2n+ 1) + 8n2+ 6n+ 1)/6.
Egalant cette dernière à 2M, on a
6a2+ 6a(n+ 1) = 6b2+ 6b(2n+ 1) + 6n2+ 3n.
Multipliant par 2/3, on obtient
4(a2−b2)−2n(a+b) + (6n+ 4)(a−b)−4n2−2n= 0, puis (2a+ 2b+ 3n+ 2)(2a−2b−n) =n2.
Soit wle PGCD des facteurs du premier membre, (2a+ 2b+ 3n+ 2)/wet (2a−2b−n))/w, premiers entre eux et de produit carré (n/w)2, sont des carrés u2 etv2.
Alors, n=uvw, 2a+ 2b+ 3n+ 2 =u2w, 2a−2b−n=v2w, 4a= (u−v)2w−2, 4b= (u2−v2−4uv)w−2.
Cela demande w/2 entier impair,u−v impair, et fournit M =uvw3(u2+v2)2/16 + (n3−n)/12.
La condition u2−v2−4uv >0 donne u/v >2 +√ 5.
Avec u = 6, v= 1, w= 2, n= 12,a= 12, b= 5, M = 4250. La première suite va de 13 à 25, la seconde de 6 à 29.
