Enoncé A334 (Diophante) Des nombres plus-que-parfaits
Par convention, un entier naturelN est dit « plus-que-parfait » ou encore
« multiparfait » d’ordre k, si la somme de ses diviseurs y compris 1 et lui-même est un multiple entier k > 1 de N. Pour k= 2, on retrouve les nombres parfaits bien connus 6, 28, 496, 8128,. . .
Démontrer qu’un nombre plus-que-parfait d’ordre k admet au moins k facteurs premiers distincts puis, sans l’aide d’un quelconque automate, démontrer qu’il existe au moins :
– un nombre plus-que-parfait d’ordre 3 qui admet 2, 3 et 5 comme seuls facteurs premiers.
– un nombre plus-que-parfait d’ordre 4 qui admet 2, 3, 5 et 7 comme seuls facteurs premiers.
Démontrer qu’à l’inverse, il n’existe pas de nombre plus-que-parfait d’ordre 5 qui admet 2, 3, 5, 7 et 11 comme seuls facteurs premiers.
Pour les plus courageux : retrouver le plus petit nombre plus que parfait d’ordre 5 calculé par Descartes en 1638. . .
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Si m et n sont premiers entre eux, on obtient tous les diviseurs de mn en multipliant un diviseur dem et un divisueur de nde toutes les façons possibles. Ainsi la somme des diviseurs de mn est le produit des sommes des diviseurs dem et de n. Sim=pa, puissance d’un nombre premier p, la somme de ses diviseurs est 1 +p+p2+. . .+pa = (pa+1−1)/(p−1).
DécomposantN en produit de (puissances de) nombres premiers distincts, la somme des diviseurs de N est le produit des expressions telles que (pa+1−1)/(p−1).
SupposonsN nombre plus-que-parfait d’ordrekavecmdiviseurs premiers distinctsp1, . . . , pm. on a
m
Y
i=1
paii+1−1
pi−1 =kN =k
m
Y
i=1
paii
d’où 1>Qi(1−1/paii+1) =kQi(pi−1)/pi. Orpi ≥i+ 1,pi/(pi−1)≤(i+ 1)/i, k <Y
i
pi
pi−1 ≤Y
i
i+ 1
i =m+ 1, donc m≥k, CQFD.
120 est un nombre plus-que-parfait d’ordre 3 qui admet 2, 3 et 5 comme seuls facteurs premiers. En effet 120 = 23 ·3·5 a pour somme de ses diviseurs (15)(4)(6) = 360 = 3×120.
30240 est un nombre plus-que-parfait d’ordre 4 qui admet 2, 3, 5 et 7 comme seuls facteurs premiers. En effet 30240 = 25·33·5·7 a pour somme de ses diviseurs (63)(40)(6)(8) = 120960 = 4×30240.
Soit un nombre plus-que-parfait qui admet 2, 3, 5, 7 et 11 comme seuls facteurs premiers. Son ordrek <Y
i
pi
pi−1 = 2·3·5·7·11 1·2·4·6·10 = 77
16 <5.
La somme des diviseurs de 27 ·35·5·72 ·13·17·19 = 31998395520 est 255·364·6·57·14·18·20 = 159991977600 = 5×31998395520.
Ce n’est pas le plus petit plus-que-parfait d’ordre 5, car j’ai trouvé (sur Internet) 14182439040, qui en est la fraction 121/273 (ou 1331/3003, si on aime les palindromes).
