Enoncé D361 (Diophante) Le puzzle de l’icosaèdre
Zig écrit un entier≥0 sur chacune des faces d’un icosaèdre régulier de sorte que la somme des nombres écrits sur toutes les faces est égale à 39. Démontrer qu’il y a deux faces de l’icosaèdre qui ont un sommet commun et contiennent le même entier.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Les faces recevant un même nombre sont au plus 4 si elles ne doivent pas avoir de sommet commun. Je le montre sur la figure, qui est une projection stéréographique des arêtes de l’icosaèdre, formant 19 triangles. L’extérieur de la figure est la vingtième face, infinie, correspondant à la face opposée de la face représentée au centre.
Du fait des symétries de l’icosaèdre, une face quelconque peut être représentée au centre, et au plus 3 autres (par exemple celles coloriées de même) peuvent y être ajoutées sans créer de sommet commun.
Ainsi Zig ne peut écrire le nombre 0 que sur 4 faces, 1 sur 4 faces, 2 sur 4 faces, 3 sur 4 faces, et 4 sur les 4 dernières faces, mais cela l’amène à un total de 40. Pour respecter le total 39, il doit inscrire au lieu de 4 un cinquième nombre entre 0 et 3, dans une face ayant un sommet commun avec une face portant le même nombre.
