D361. Le puzzle de l'icosaèdre **
Zig écrit un entier ≥ 0 sur chacune des faces d'un icosaèdre régulier de sorte que la somme des nombres écrits sur toutes les faces est égale à 39. Démontrer qu'il y a deux faces de l'icosaèdre qui ont un sommet commun et contiennent le même entier
Solution proposée par Jean Nicot
Un isocaèdre possède 20 faces, 30 arêtes, 12 sommets et 5 faces par sommet.
Les 5 faces d’un même sommet auront des nombres différents dont la somme sera au minimum 0+1+2+3+4=10.
La somme correspondant aux 12 sommets est donc 120. Chaque face intervenant 3 fois, la somme des nombres écrits sur toutes les faces devrait être au moins de 40. Pour n’être que 39, il faut qu’une face ait un nombre inférieur d’une unité et les trois sommets de cette face ont chacun deux faces avec ce même entier.
