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Diophante D361 Le puzzle de l’icosaèdre

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Academic year: 2022

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Diophante D361 Le puzzle de l’icosaèdre

Afin d’aboutir à une contradiction, supposons que deux faces de l'icosaèdre partageant un sommet ne contiennent jamais le même entier.

Considérons le graphe des arêtes de l’icosaèdre. Il compte 12 sommets de degré 5, et 20 faces triangulaires. Sur le dessin, il faut imaginer que la région infinie est une face cachée.

Autour de chaque sommet, les cinq faces contiennent des nombres distincts deux à deux. Au moins une de ces faces contient un nombre au moins égal à 4. Supposons, sans perte de généralité, que ce soit le cas de la face grise au centre.

Les cinq faces bleues partageant un sommet totalisent au moins 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10. De même pour les jaunes, et pour les rouges.

En fonction des sommets partagés (trois faces autour de chacun d’eux), la face cachée et les trois faces blanches la bordant totalisent au moins 0 + 1 + 2 + 3 = 6.

Somme toute, les vingt faces totalisent au moins 4 + 10 + 10 + 10 + 6 = 40 > 39, d’où la contradiction attendue.

Il y a deux faces de l'icosaèdre qui ont un sommet commun et contiennent le même entier.

Jean-Louis Legrand

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