D361− Le puzzle de l'icosaèdre [** à la main]
Zig écrit un entier ≥ 0 sur chacune des faces d'un icosaèdre régulier de sorte que la somme des nombres écrits sur toutes les faces est égale à 39. Démontrer qu'il y a deux faces de l'icosaèdre qui ont un sommet commun et contiennent le même entier.
Solution proposé par Marie-Christine Piquet
Zig sait déjà qu'un icosaèdre régulier possède 20 faces triangulaires , 12 sommets et 30 arêtes .
Il sait aussi qu'une face triangulaire ayant 3 sommets , il ne peut écrire au plus que 4 fois (12/3) le même nombre .
Dans ce cas,s'il retient les plus petits nombres,il écrira 4fois chacun des 5 nombres 0,1,2 ,3,4 puisqu'un sommet est communà 5 faces .
La somme de ces vingt nombres vaut dans ce cas 40 et il sait très bien les placer afin que chacun des 12 sommets soit entouré de 5 nombres distincts.
On veut une somme de 39 et dans ce cas Zig n'a pas d'autre choix que de décrémenter de 1 l'un des 4 nombres 1,2,3 ou 4 sur l'une des 16 faces affectées de l'un de ces 4 nombres.
Dans ce cas,quelle que soit la face choisie, un sommet sera toujours entouré de 2 nombres égaux . Pour écrire ces 20 nombres , Zig a peut-être utilisé le plus simple des développés du polyèdre .
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