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un icosaèdre régulier

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Academic year: 2022

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D361− Le puzzle de l'icosaèdre [** à la main]

Zig écrit un entier ≥ 0 sur chacune des faces d'un icosaèdre régulier de sorte que la somme des nombres écrits sur toutes les faces est égale à 39. Démontrer qu'il y a deux faces de l'icosaèdre qui ont un sommet commun et contiennent le même entier.

Solution proposé par Daniel Collignon

Considérons t le total des 12 (sommets) sommes des 5 faces partageant un même sommet.

Remarquons que chaque face (triangle) apparaît dans exactement 3 sommes.

Par l'absurde, nous aurions 117=3*39 = t >= 12*(0+1+2+3+4)=120, contradiction.

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