On considère une grille carrée de dimension n ≥ 4 qui contient n² cases. Dans chacune d’elles on écrit un entier de sorte que la somme de tous les entiers de la grille est positive et la somme des entiers contenus dans n’importe quel carré 3 x 3 est négative.
Déterminez les valeurs de n pour lesquelles on sait remplir la grille. Justifiez votre réponse.
Application numérique : quand elles existent, donner des exemples de grilles pour 4≤ n ≤ 10.
Il n’y a manifestement pas de solution si n est multiple de 3 : en effet le grand carré est alors la réunion de carrés 3x3 disjoints, donc la somme est obligatoirement négative.
Dans tous les autres cas, repérons chaque case (l, c) par le numéro de ligne et le numéro de colonne, et colorions les cases dont les numéros de ligne et de colonne sont multiples de 3 ; il suffit alors de placer la valeur a>0 dans chaque case blanche, et -8a-1 dans les cases de couleur.
La somme des entiers contenus dans chaque carré 3x3 est alors -1.
Si n est de la forme 3k+1, il y a k2 cases de couleur et 8k2+6k+1 cases blanches soit une somme égale à -k2+a(6k+1)
Si n est de la forme 3k+2, il y a k2 cases de couleur et 8k2+12k+4 cases blanches soit une somme égale -k2+a(12k+4)
Pour tout k, on peut trouver a tel que cette somme soit positive.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 -9 1 1 -9 1 1 -9 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 -9 1 1 -9 1 1 -9 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 -9 1 1 -9 1 1 -9 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Les carrés 4x4, 5x5, 7x7, 8x8 et 10x10 visualisés dans le tableau ci-dessus répondent à la question
