D361. Le puzzle de l'icosaèdre
Zig écrit un entier ≥ 0 sur chacune des faces d'un icosaèdre régulier de sorte que la somme des nombres écrits sur toutes les faces est égale à 39. Démontrer qu'il y a deux faces de l'icosaèdre qui ont un sommet commun et contiennent le même entier.
Solution proposée par Bernard Grosjean
L’icosaèdre régulier comporte : 20 faces égales, formées d’un triangle équilatéral 12 sommets, chacun commun à 5 faces
30 arêtes.
Les faces de l’icosaèdre sont définies par leurs 3 sommets.
Nous avons ci-dessous le développement de l’icosaèdre
A,A1,A2,A3,A4 représentent le même sommet A (idem pour L, B et G)
Examinons les possibilités de placer le même chiffre sur les faces qui n’ont pas de sommets communs. Nous partons de la face ABC (n’importe quelle autre conviendrait).
Nous avons les 10 possibilités données par le tableau ci-dessous : (les emplacements sont repérés en jaune)
Possibilités
Faces 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ABC ACD ADE AEF AFB BGH BCH CHI CDI DIJ DJE EJK EKF FKG FBG GHL HLI
ILJ JLK KLG
Le maximum de mêmes entiers que l’on peut placer sur les faces qui n’ont pas de sommet commun est « 4 ».
Pour les 20 faces, il faut au minimum 5 nombres différents, figurant chacun 4 fois
Le total minimum est donc 4*(0+1+2+3+4) = 4*10 =40.
Pour que le total soit égal à 39, il est donc nécessaire que « 4 » ne figure que 3 fois et qu’un des nombres « 0,1,2 ou 3» figure 5 fois, soit sur 2 faces ayant un sommet commun.
Exemple ci-après d’une configuration donnant le minimum « 40 »
ABC 0
ACD 3
ADE 1
AEF 4
AFB 2
BGH 4
BCH 1
CHI 2
CDI 4
DIJ 0
DJE 2
EJK 3
EKF 0
FKG 1
FBG 3
GHL 0
HLI 3
ILJ 1
JLK 4
KLG 2
