A450 - Un parallélépipède peint sur toutes les faces Solution
On suppose que a,b et c sont des entiers tels que c b a.
Un parallélépipède de dimensions a,b et c comporte sur sa surface : - 8 petits cubes placés aux sommets du parallélépipède,
- 4(a-2)+4(b-2)+4(c-2) petits cubes placés le long des douze arêtes de longueurs a,b et c.
- 2(a-2)(b-2) + 2(a-2)(c-2) +2(b-2)’c-2) petits cubes placés sur les faces, arêtes et sommets exclus.
Au total, lorsque toutes les faces du parallélépipède sont peintes, il y a 2(ab+ac+bc)- 4(a+b+c)+8 petits cubes peints.
On peut encore écrire de façon plus simple que les petits cubes qui ne sont pas peints occupent un parallélépipède rectangle de dimensions (a-2), (b-2) et (c-2) intérieur au parallélépipède de dimensions a,b et c. Dès lors, le nombre de petits cubes peints est par différence égal à abc – (a-2)(b-2)(c-2)
Comme la moitié des cubes a au moins une face peinte, on a l’équation (a-2)(b-2)(c-2) = abc/2.
Cette dernière expression peut s’écrire sous la forme (1 – 2/a)(1 - 2/b)(1 -2/c) = 1/2 >
2/a)3
(1 a 9.
De la même manière, elle peut s’écrire 2*(a-2)/a = b*c/(b-2)*(c-2) > 1 a > 4.
Les valeurs possibles de a sont donc a=5, 6, 7, 8 et 9.
Examinons successivement chacune de ces valeurs :
a = 5
On a l’équation (b-12)*(c-12)=120 dont les solutions sont : b=13, c=132
b=14, c=72 b=15, c=52 b=16, c=42 b=17, c=36 b=18, c=32 b=20, c=27 b=22, c=24
a = 6
D’où l’équation en b et c (b-8)*(c-8)=48 qui a pour solutions : b = 9, c=56
b = 10, c=32 b = 11, c=24 b = 12, c=20 b=14, c=16
a = 7
L’équation en b et c s’écrit (3*b – 20)*(3*c – 20) = 280 qui donne 4 valeurs possibles du couple (b,c)
b=7, c=100 b=8, c=30 b=9, c=20
b=10, c=16
a = 8
A partir de l’équation (b-6)*(c-6)=24, il n’y a plus que 3 valeurs possibles du couple(b,c) : b=8, c=18
b=9, c=14 b=10, c=12
a = 9
Pas de solution en b et c
Il y a donc au total 20 triplets (a,b,c) possibles. On observe qu’il n’y a jamais de cube parmi les parallélépipèdes possibles et qu’il y a seulement deux parallélépipèdes dont les côtés sont égaux (a=b=7 et a=b=8)
Toutes les solutions en a,b,c entiers tels que abc sont reprises dans le tableau ci-après :
Il n’y a qu’une seule solution qui donne un parallélépipède de volume inférieur à 1dm3. Les dimensions du parallélépipède sont respectivement de 8 cm, 10 cm et 12 cm.
a b c volume en cm3
5 13 132 8580
5 14 72 5040
5 15 52 3900
5 16 42 3360
5 17 36 3060
5 18 32 2880
5 20 27 2700
5 22 24 2640
6 9 56 3024
6 10 32 1920
6 11 24 1584
6 12 20 1440
6 14 16 1344
7 7 100 4900
7 8 30 1680
7 9 20 1260
7 10 16 1120
8 8 18 1152
8 9 14 1008
8 10 12 960
