Diophante J129 – Sommes contraires [** à la main]
On considère une grille carrée de dimension n ≥ 4 qui contient n² cases. Dans chacune d’elles on écrit un entier de sorte que la somme de tous les entiers de la grille est positive et la somme des entiers contenus dans n’importe quel carré 3 x 3 est négative. Déterminez les valeurs de n pour lesquelles on sait remplir la grille. Justifiez votre réponse. Application numérique : quand elles existent, donner des exemples de grilles pour 4≤ n ≤ 10.
Réponses:
Lorsque n est de la forme 3k, on peut diviser la grille en k2 carrés 3 x 3.
Si la somme des entiers contenus dans n’importe quel carré 3 x 3 est négative, alors la somme de tous les entiers de la grille est négative.
On ne sait pas remplir la grille.
Lorsque n est de la forme 3k + 1, a et b étant des entiers strictement positifs, remplissons chaque case de la première ligne à partir du haut par a, les cases des deuxième et troisième lignes par k fois (a, -b, -b) puis a, chaque case de la quatrième ligne par a, et ainsi de suite.
La somme des entiers contenus dans n’importe quel carré 3 x 3 est 5a - 4b.
La somme de tous les entiers de la grille est k2(5a - 4b) + (6k + 1)a = (5k2 + 6k + 1)a - 4k2b.
L'énoncé contraint 5/4 < b/a < 5/4 + (6k + 1)/4k2.
On saura toujours remplir la grille car, plus k sera grand, plus on pourra faire tendre b/a vers 5/4 par excès.
a = 1 et b = 2 conviennent lorsque k = 1 (n = 4) ou k = 2 (n = 7).
Lorsque k = 3 (n = 10), 5/4 < b/a < 16/9, a = 2 et b = 3 conviennent.
Lorsque n est de la forme 3k + 2, a et b étant des entiers strictement positifs, remplissons chaque case de la première ligne à partir du haut par a, les cases des deuxième et troisième lignes par k fois (a, -b, -b) puis a et -b, chaque case de la quatrième ligne par a, et ainsi de suite.
La somme des entiers contenus dans n’importe quel carré 3 x 3 est 5a - 4b.
La somme de tous les entiers de la grille est k2(5a - 4b) + (8k + 3)a - (4k + 1)b = (5k2 + 8k + 3)a - (4k2 + 4k + 1)b.
L'énoncé contraint 5/4 < b/a < 5/4 + (3k + 7/4)/(4k2 + 4k + 1).
On saura toujours remplir la grille car, plus k sera grand, plus on pourra faire tendre b/a vers 5/4 par excès.
a = 2 et b = 3 conviennent lorsque k = 1 (n = 5) ou k = 2 (n = 8).
Jean-Louis Legrand
