si la somme des puissances n-ièmes des n premiers nombres entiers naturels est divisible par n

A563 – Les entiers narcissiques

Un entier naturel n est dit "narcissique" si la somme des puissances n-ièmes des n premiers nombres entiers naturels est divisible par n. Quels sont les entiers narcissiques ? Justifiez votre réponse.

Solution par Patrick Gordon

On connaît en général les formules donnant la somme Sk des puissances k des n premiers entiers :

S1 = n (n+1) / 2

S2 = n (n+1) (2n+1) / 6 S3 = n² (n+1)² / 4

S4 = n (n+1) (2n+1) (3n²+3n–1) / 30 S5 = n² (n+1)² (2n²+2n–1) / 12

S6 = n (n+1) (2n+1) (3n⁴+6n³–3n+1) / 42

Ces formules peuvent se retrouver en écrivant (pour la puissance p) : k^p = (k–1) ^p + Cp1 (k–1) ^p-1 1¹ + Cp2 (k–1) ^p-2 1² + … + 1^p de k = 1 à n et en additionnant membre à membre.

La somme des (k–1)^p-1 se déduit alors de la connaissance des sommes de degré inférieur et de k^p qui seul reste au premier membre.

On constate que (jusqu'à p = 6 du moins) :

 pour k impair, Sk est divisible par n (n+1) / 2

 pour k pair, Sk est divisible par n (n+1) (2n+1) / 6 et le quotient n'est pas divisible par n.

Le mode de calcul montre que cette propriété est vraie quel que soit p. Les formules de Faulhaber en apportent confirmation.

Dans le cas qui nous intéresse, k = n.

Si n est impair, (n+1)/2 est un entier, donc Sn est divisible par n.

Si n est pair, comme le quotient de Sn par n (n+1) (2n+1) / 6 n'est pas divisible par n, la question se ramène à celle de la divisibilité par n de n (n+1) (2n+1) / 6, c'est dire le point de savoir si (n+1) (2n+1) est divisible par 6.

On en discutera selon la valeur de n mod.3

 Si n = 1 mod. 3

On a n = 3x + 1, avec x impair pour que n soit pair.

Donc (n+1) = 3x + 2 et (2n+1) = 6x + 3.

Seul (2n+1) est divisible par 3, mais il ne l'est pas par 2. Comme x est impair, (n+1) n'est pas divisible par 2 non plus.

Donc (n+1) (2n+1) n'est pas divisible par 6.

 Si n = 2 mod. 3

On a n = 3x + 2, avec x pair pour que n soit pair.

Donc (n+1) = 3x + 3 et (2n+1) = 6x + 5.

Seul (n+1) est divisible par 3, mais il ne l'est pas par 2. Quant à (2n+1), il n'est divisible ni par 2 ni par 3.

Donc (n+1) (2n+1) n'est pas divisible par 6.

 Si n = 0 mod. 3

On a n = 3x, avec x pair pour que n soit pair.

Donc (n+1) = 3x + 1 et (2n+1) = 6x + 1.

Ni (n+1) ni (2n+1) ne sont divisibles ni par 2 ni par 3.

Donc (n+1) (2n+1) n'est pas divisible par 6. C'est n qui est divisible par 6 et qui assure donc que n (n+1) (2n+1) / 6 est un entier.

En conclusion :

Tous les nombres n impairs sont "narcissiques" et aucun nombre n pair ne l'est.