l'objet du problème est de déterminer, pour tout entier naturel k, les polynômes P de degré inférieur ou égal à k, tels que le réel •k(P) défini par la relation suivante •k(P

98 MATH. I - MP

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,

ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,

DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE

ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 1998 MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE

FILIÈRE MP

(Durée de l'épreuve : 3 heures) L'emploi de la calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition du concours E.N.T.P.E. ; suite à l'arrêté du 9 décembre 1997.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP.

L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière MP, comporte 4 pages.

Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Ajustement polynomial par la méthode des moindres carrés.

Dans tout le problème, n est un entier naturel différent de 0, (y_i)_0”i”n une suite finie de n+1 nombres réels ; l'objet du problème est de déterminer, pour tout entier naturel k, les polynômes P de degré inférieur ou égal à k, tels que le réel •_k(P) défini par la relation suivante

•_k(P) = (y_i – P(i))²

i= 0

∑n

soit minimum et de préciser la valeur m_k de ce minimum.

1°) Application φk :

Pour tout entier naturel k, soit φk l'application de R_k[X] dans Rⁿ⁺¹ qui, à un poly- nôme P appartenant à R_k[X] fait correspondre le vecteur (P(0), P(1),…, P(n)) de Rⁿ⁺¹ : φk(P) = (P(0), P(1),…, P(n)). Il est admis que cette application φk est linéaire.

a. Déterminer le noyau de l'application φk, en discutant suivant les valeurs de l'en- tier k par rapport à l'entier n ; préciser la dimension du noyau ; établir l'expres- sion des polynômes du noyau lorsque celui-ci n'est pas réduit à {0}.

- 2/4 -

b. Étudier, suivant les valeurs de l'entier k, le rang de φk. Pour quelles valeurs de l'entier k est-elle surjective ? Pour quelle valeur de l'entier k est-elle un isomor- phisme ?

2°) Étude préliminaire :

L'entier n est toujours donné ; soit (y_i)_0”i”n une suite de n+1 réels.

a. Déduire des questions précédentes l'existence et l'unicité d'un polynôme Y ap- partenant à R_n[X], tel que, pour tout i compris entre 0 et n, 0 ” i ” n, la relation Y(i) = y_i ait lieu.

Cette notation du polynôme Y associé à la suite (y_i)_0”i”n est conservée dans la suite.

b. Étant donné un entier p compris entre 0 et n, 0 ” p ” n, soit ”_p la suite de n+1 réels tous nuls sauf celui de rang p égal à 1 ; il vient :

”₀ = (1, 0, … , 0) ; ”_p = (0, …, 1, …, 0) ; ”_n = (0, 0,… , 1).

Démontrer l'existence et l'unicité d'une base L de l'espace vectoriel R_n[X] : L = (L₀, L₁,…, L_n)

telle que pour tout couple d'indices i et j compris entre 0 et n, 0 ” i ” n, 0 ” j ” n, la relation L_i(j) = δij = 1, si i= j,

0, si i≠j,

 

 , ait lieu.

Quelles sont les coordonnées d'un polynôme P quelconque de R_n[X] dans la base L ? du polynôme Y dans la base L ?

c. Soit k un entier supérieur ou égal à n ; déterminer la valeur du minimum m_k du réel •_k(P) défini par la relation

•_k(P) = (y_i – P(i))²

i= 0

∑n

où P est un polynôme de R_k[X]. Quels sont les polynômes P de R_n[X] pour lesquels l'expression •_k(P) est nulle ?

Dans toute la suite l'entier k est supposé inférieur ou égal à l'entier n ; k ” n.

3°) Interprétation de m_k pour k ” n : a. Structure euclidienne de R_n[X] :

Prouver l'existence et l'unicité dans R_n[X] d'un produit scalaire, noté <. , .> tel que la base L définie à la question 2°.b soit orthonormale. Préciser pour deux polynômes P et Q quelconques de R_n[X] la valeur de <P, Q>.

- 3/4 -

Le résultat : 6 p²

p=1

∑n = n(n+1)(2n+1) étant admis, calculer les produits scalaires

<1, 1>, <1 , X> et <1 , X²> .

Dans tout ce qui suit, l'espace vectoriel R_n[X] est muni de ce produit scalaire ; dans cet espace euclidien R_n[X], <. , .> la norme d'un polynôme P est alors :

||P|| = <P, P> .

b. Étant donnée une suite (y_i)_0”i”n, soit Y le polynôme de l'espace R_n[X] associé à cette suite (question 2°.a). Déduire des conventions précédentes la relation suivante :

•_k(P) = ||Y – P||² .

Démontrer l'existence et l'unicité d'un polynôme P_k appartenant à R_k[X] pour lequel le réel •_k(P) est égal à son minimum m_k :

m_k = ||Y – P_k||² . Définir le polynôme P_k au moyen de Y et de R_k[X].

Que dire du polynôme Y–P_k et du sous-espace vectoriel R_k[X] ? Faire un croquis.

c. Exemples :

i/ k=0 ; déterminer, pour un polynôme Y, image d'une suite donnée (y_i)_0”i”n (n•1), les expressions de P₀ et m₀. Comparer ||Y||² – ||P₀||² et m₀.

ii/ k=1 ; l'entier n est supposé impair : n = 2q–1 ; la suite (y_i)_0•i•n définie par la relation : y_i = 1, si 0≤i≤q –1,

–1, si q≤i≤2q–1.

 

 . Déterminer le polynôme P₁. 4°) Détermination de m_k à l'aide d'une base orthogonale de R_n[X] :

a. Le but de cette question est de construire une suite unique de polynômes B₀, B₁,…, B_n tels que :

i/ le polynôme B₀ soit égal à 1 ;

ii/ pour tout entier naturel k inférieur ou égal à n (k ” n), la suite (B₀, B₁,…, B_k) soit une base du sous-espace vectoriel R_k[X] telle que les polynômes B_i, 0”i”k, soient deux à deux orthogonaux ;

iii/ pour k supérieur ou égal à 1, le coefficient du terme de plus haut degré du polynôme B_k soit égal au coefficient du binôme C_2k^k .

Déterminer les polynômes B₁ et B₂. La relation <1, X³> = (<1, X>)² est ad- mise.

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Déterminer le polynôme B_k, lorsque l'entier k varie de 1 à n, à l'aide des poly- nômes X^k et Q_k, projection du monôme X^k sur R_k–1[X]. Faire un croquis.

En déduire l'existence et l'unicité d'une base B = (B₀, B₁,…, B_n) de l'espace vectoriel R_n[X] vérifiant les propriétés i, ii et iii.

b. Démontrer, lorsque l'entier k est compris entre 1 et n, 1 ” k ” n, que le poly- nôme B_k(n – X) (associé à la fonction polynomiale x-B_k(n – x)) est orthogonal au sous-espace vectoriel R_k–1[X]. En déduire une relation simple entre les polynômes B_k(n – X) et B_k.

c. Déterminer les coordonnées du polynôme P_k, défini à la question 3°.b (k ” n), dans la base B. Que vaut P_n ? En déduire, pour tout entier k compris entre 1 et n (1 ” k ” n), les relations :

P_k = P_k–1 + ^{< Bk, Y >}

||B_k||² B_k ; m_k = m_k–1 – ^{(< Bk, Y >)}

2

||B_k||² . 5°) Étude de la famille des polynômes B_k, k=0,1,…,n :

a. Soient k un entier compris entre 2 et n, 2 ” k ” n et j en entier compris entre 0 et k–2, 0 ” j ” k–2 ; démontrer l'orthogonalité des polynômes X.B_k et B_j :

< X.B_k , B_j > = 0 .

b. En déduire, pour tout entier k compris entre 1 et n–1, 1 ” k ” n–1, l'existence de réels αk, βk et γk tels que :

X.B_k = αk B_k–1 + βkB_k + γkB_k+1 . c. Déterminer, à l'aide de la question 4°.b, la valeur du réel βk.

d. Que vaut γk ? En déduire la valeur du produit scalaire <X.B_k, B_k+1> en fonction de l'entier k et du réel ||B_k+1||².

e. Déterminer le réel αk en fonction de l'entier k et des réels ||B_k–1||² et ||B_k||². Déduire des résultats précédents la relation :

B_k+1 =^{2k + 1}

k + 1 { ^B1.B_k – ^k

2k – 1 ^||Bk||

2

|| B_k–1||²B_k–1} ^.

FIN DU PROBLÈME FIN DE L'ÉPREUVE