D279 – Les trois inconnues du polygone
Un polygone régulier à n côtés est inscrit dans un cercle de centre O dont le rayon est un entier r. Sur la droite qui relie O à l’un des sommets du polygone, on trace un point P
extérieur au polygone tel que la distance d = OP est un multiple entier > 1 de r. Le produit des longueurs des segments qui relient P à tous les sommets du polygone est égal à 1.881.792. En déduire n, r et d.
Solution par P. Gordon
La distance PM de P à un point M du cercle a pour carré :
1) PM² = d² + r² – 2dr cos où désigne l'angle MOP.
Si M est un sommet d'un polygone régulier à n côtés, = 2kπ/n.
Si l'on apparie M et son symétrique M' par rapport à OP, (1) est aussi bien le carré de PM' et donc :
2) PM.PM' = d² + r² – 2dr cos (2kπ/n)
On reconnaît là un terme de la décomposition en facteurs du polynôme (zn – 1), que l'on obtient en appariant les racines nèmes de l'unité complexes conjuguées, avec ici z = d/r. À ces termes carrés s'adjoint le terme (d – r), ainsi que (d + r) si n est pair.
Au total, le produit des longueurs des segments qui relient P à tous les sommets du polygone n'est autre que (dn – rn) et l'on cherche donc d, r et n tels que :
3) (dn – rn) = 1.881.792 = 26 35 112.
En notant m le ratio (entier) d/r, cette équation se réécrit : 4) (mn – 1) rn = 26 35 112.
Il en résulte que n ne peut excéder 6.
Cas de n = 3
Comme = 26 35 112, les seules valeurs de r possibles sont 2, 3, 6.
Reste à voir si :
pour r = 2, on peut avoir (m3 – 1) = 23 35 112 = 235 224
pour r = 3, on peut avoir (m3 – 1) = 26 32 112 = 69 696
pour r = 6, on peut avoir (m3 – 1) = 23 32 112 = 8 712 Un tableur nous renseigne : la réponse est NON.
Cas de n = 4
L'équation (4) pour n = 4 indique que les seules valeurs de r possibles sont, là encore : 2, 3, 6.
Reste à voir si :
pour r = 2, on peut avoir (m4 – 1) = 22 35 112 = 117 612
pour r = 3, on peut avoir (m4 – 1) = 26 3 112 = 23 232
pour r = 6, on peut avoir (m4 – 1) = 22 3 112 = 1 452 Un tableur nous renseigne : la réponse est NON.
Cas de n = 5
L'équation (4) pour n = 5 indique que les seules valeurs de r possibles sont, là encore : 2, 3, 6.
Reste à voir si :
pour r = 2, on peut avoir (m5 – 1) = 2 35 112 = 58 806
pour r = 3, on peut avoir (m5 – 1) = 26 112 = 7 744
pour r = 6, on peut avoir (m5 – 1) = 2 112 = 242
On voit immédiatement que ce tout dernier cas répond à la question. En effet, 242 + 1 = 243, qui est la puissance cinquième de 3.
Une solution est donc (avec d/r = m = 3) :
n = 5; r = 6, d = 18.
Cas de n = 6
L'équation (4) pour n = 6 indique que la seule valeur de r possible est 2.
Reste à voir si, pour r = 2, on peut avoir (m6 – 1) = 35 112 = 29 403.
La réponse est NON.
