H152. Signatures sur un polyèdre
Zig et Puce ont devant eux un polyèdre convexe qui a au moins cinq faces et dans lequel trois arêtes partent exactement de chaque sommet. A tour de rôle, Zig pour commencer puis Puce apposent en alternance leur signature sur l’une quelconque des faces vierges. Le gagnant est celui qui parvient à obtenir sa signature sur trois faces partageant le même sommet.
En supposant que les deux joueurs adoptent l’un et l’autre des stratégies optimales, déterminer le joueur qui a une stratégie gagnante.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On va montrer que tout polyèdre du type indiqué admet une face qui a au moins quatre cotés ; Zig vaincra toujours en trois coups, dont le premier correspond à une quelconque de ces faces.
On rappelle d’abord la relation d’Euler pour les polyèdres ; pour tout polyèdre de genre 0 (en particulier pour les polyèdres convexes) on a :
où s est le nombre de sommets, est le nombre d’arêtes et est le nombre de faces.
En particulier, lorsque de tout sommet partent trois arêtes, il existe un entier tel que :
et la restriction sur le nombre de faces entraine .
Une conséquence immédiate est qu’il existe au moins une face non-triangulaire : par l’absurde, si toute face était triangulaire, on aurait , donc 3 , donc (le tétraèdre !).
Si Zig commence en marquant une face non triangulaire, Puce n’a pas d’espoir : au mieux, son premier coup sera sur une des faces contigües à , soit ; le second coup de Zig est sur une face contigüe à mais non à , ce qui crée deux choix gagnants comme troisième coup pour Zig ; le second coup de Puce ne peut pas être gagnant (on a besoin d’au moins trois coups pour gagner) et ne peut non plus annuler les deux choix gagnants de Zig.
