E440-Un jeu de Zig et Puce. Problème proposé par Michel Lafond

E440-Un jeu de Zig et Puce.

Problème proposé par Michel Lafond

Zig et Puce jouent au jeu suivant : sur la table, il y a 8 cartes numérotées 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Chacun à tour de rôle prend une carte présente sur la table et la garde en main. A la fin, chacun multiple les valeurs des 4 cartes qu’il a en main. Celui dont le produit est le plus proche de 300 gagne.

Zig commence. Qui gagnera ?

Solution de l’auteur

Il ne peut y avoir nulle, car sinon il y aurait un entier n tel que (300 – n) (300 + n) = 8 ! c’est à dire 90000 – 40320 = n² ce qui n’est pas le cas.

A la fin du jeu, notons Z et P les produits respectifs de Zig et Puce.

Z  P = 8 ! = 40320 = 2⁷ 3²  5  7 possède 96 diviseurs.

Classons-les par paires {x, y}, avec x y = 8 ! sachant que x et y valent au minimum 1  2  3  4 = 24 :

x 24 - - - - 56 60 63 64 70 72 80 84 90 96 105 112 - - - - 180 192 y 1680 - - - - 720 672 640 630 576 560 504 480 448 420 384 360 - - - - 224 210

En gras on a indiqué les produits "gagnants" Ainsi, si Z = 72 et P = 560, Zig gagne car 72 est plus proche de 300 que 560. Mais si Z = 80 et P = 504, Puce gagne car 504 est plus proche de 300 que 80.

Notons Z1, Z2, Z3, Z4 les valeurs successives des cartes choisies par Zig, et P1, P2, P3, P4 celles de Puce.

Zig gagnera en jouant Z₁ = 2.

En effet, Puce a 7 réponses possibles, et :

 Si P1 = 1, Zig jouera Z2 = 8. Il restera donc les cartes 3, 4, 5, 6, 7. C’est à Puce de jouer, mais quoi que fasse Puce, Zig pourra toujours choisir pour ses deux derniers coups un nombre parmi{3, 4} ET un nombre parmi {6, 7}. Il obtiendra donc nécessairement un des produits 2  8  3  6 = 288, 2  8  3

 7 = 336, 2  8  4  6 = 384 ou 2  8  4  7 = 448 tous gagnants.

 Si P1 = 3, Zig jouera Z2 = 1. Il restera donc les cartes 4, 5, 6, 7, 8. C’est à Puce de jouer, mais quoi que fasse Puce, Zig pourra toujours choisir pour ses deux derniers coups un nombre parmi{4, 5} ET un nombre parmi {6, 7}. Il obtiendra donc nécessairement un des produits 2  1  4  6 = 48, 2  1  4

 7 = 56, 2  1  5  6 = 60 ou 2  1  5  7 = 70 tous gagnants.

 Si P1 = 4, Zig jouera Z2 = 1. Il restera donc les cartes 3, 5, 6, 7, 8. C’est à Puce de jouer, mais quoi que fasse Puce, Zig pourra toujours choisir pour ses deux derniers coups un nombre parmi{3, 5} ET un nombre parmi {6, 7}. Il obtiendra donc nécessairement un des produits 2  1  3  6 = 36, 2  1  3

 7 = 42, 2  1  5  6 = 60 ou 2  1  5  7 = 70 tous gagnants.

De même :

 Si P₁ = 5, Zig jouera Z₂ = 1. Il restera donc les cartes 3, 4, 6, 7, 8 et Zig choisira pour ses deux derniers coups un nombre parmi {3, 4} ET un nombre parmi {6, 7}. Il obtiendra un des produits 2  1  3  6 = 36, 2  1  3  7 = 42, 2  1  4  6 = 48 ou 2  1  4  7 = 56 tous gagnants.

 Si P1 = 6, Zig jouera Z2 = 1. Il restera donc les cartes 3, 4, 5, 7, 8 et Zig choisira pour ses deux derniers coups un nombre parmi {3, 4} ET un nombre parmi {5, 7}. Il obtiendra un des produits 2  1  3  5 = 30, 2  1  3  7 = 42, 2  1  4  5 = 40 ou 2  1  4  7 = 56 tous gagnants.

 Si P₁ = 7, Zig jouera Z₂ = 1. Il restera donc les cartes 3, 4, 5, 6, 8 et Zig choisira pour ses deux derniers coups un nombre parmi {3, 4} ET un nombre parmi {5, 6}. Il obtiendra un des produits 2  1  3  5 = 30, 2  1  3  6 = 36, 2  1  4  5 = 40 ou 2  1  4  6 = 48 tous gagnants.

 Enfin, si P1 = 8, Zig jouera Z2 = 1. Il restera donc les cartes 3, 4, 5, 6, 7 et Zig choisira pour ses deux derniers coups un nombre parmi {3, 4} ET un nombre parmi {5, 6}. Il obtiendra un des produits 2  1  3  5 = 30, 2  1  3  6 = 36, 2  1  4  5 = 40 ou 2  1  4  6 = 48 tous gagnants.