Enoncé E570 (Diophante) Des questions bien ciblées
Zig et Puce jouent au jeu suivant : Zig choisit en secret deux nombres consécutifsa, a+ 1 dansE={1,2,3, . . . ,28}.
Puce essaie de les deviner en posant des questions.
Une question de Puce consiste à proposer à Zig un sous-ensemble F de E.
La réponse de Zig est le nombre [0, 1 ou 2] d’éléments communs à F et{a, a+ 1}.
Quel est le nombre minimal de questions que Puce doit poser pour trouver à coup sûraeta+ 1 ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Il y a 27 possibilités pour a, 3 réponses possibles ; la théorie de l’information indique une quantité d’information proportionnelle à ln 27 pour la question, ln 3 au plus pour chaque réponse quand les trois possibilités [0,1,2] sont équiprobables.
d(ln 27)/(ln 3)e = 3 questions de Puce sont donc nécessaires. Il n’en faut pas plus avec le choix suivant.
La première question de Puce propose l’ensemble F ={3,4,5,9,10,11,15,16,17,21,22,23,27,28}.
Selon la réponse 0, 1 ou 2 de Zig, Puce propose l’un des ensembles F0 ={6,7,12,13,18,19},
F1 ={10,13,16,20,21,23,24,26,27}, F2 ={3,4,9,10,15,16}.
Le tableau suivant donne, selon ces secondes questions (en tête de ligne) et selon les secondes réponses de Zig (en tête de colonne) les valeurs possibles dea.
0 1 2
F0 1,24,25 7,13,19 6,12,18 F1 2,5,8 11,14,17 20,23,26 F2 21,22,27 4,10,16 3,9,15
La troisième question départage les trois valeurs a1 < a2 < a3 possibles à ce stade par un ensemble tel que {a1, a1 + 1, a2} que propose Puce1 :aesta1, a2, a3 selon que la réponse est 2, 1 ou 0.
1. ou même{a1, a2}sia1 eta2 sont consécutifs,a3ne l’étant pas
