Enoncé E661 (Diophante) Zig a plusieurs cordes à son arc
Zig trace 2n (n > 1) points qui partagent la circonférence d’un cercle en 2narcs de même dimension. Il relie entre eux tous ces points par paires de telle sorte que chacun d’eux est l’extrémité d’une corde et d’une seule. Pour quelles valeurs denpeut-il tracerncordes de longueurs toutes différentes ?
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Si le problème est possible, les ncordes sous-tendent des arcskπ/n, avec k= 1 àn. Les 2npoints sont les sommets d’un polygone régulier convexe.
Je numérote les côtés en donnant le rang 1 à celui des côtés qui est la corde sous-tendant l’arcπ/n.
Les n cordes et les n côtés de rang pair (2 à 2n) forment un graphe à 2nsommets de degré 2 ; c’est donc un cycle ou un ensemble de cycles. La somme des arcs sous-tendus par les arêtes de ce graphe, pris algébrique- ment, est un multiple de 2π pour chacun de ces cycles.
Au total, la contribution à cette somme des côtés de rang pair estntermes
±π/n; la contribution des cordes de Zig est (±1±2. . .±k . . .±n)π/n.
En remplaçant tous les signes par +, je modifie la somme d’un multiple de 2π/n; elle devient alors π pour les côtés de rang pair, et (n+ 1)π/2 pour les cordes, soit (n+ 3)π/2 au total ; c’est comme 2π un multiple de 2π/n.
Il faut donc que n(n+ 3) soit multiple de 4 : le reste de n modulo 4 est 0 ou 1 ; bn/2c, pair, = 2bn/4c. Si ce reste est 2 ou 3 (bn/2c impair), le problème est impossible.
Cette condition nécessaire de possibilité est aussi suffisante. Voici en effet une construction systématique valable pourn≥12..
Les points étant numérotés selon leur ordre sur le cercle, on lit en première colonne du tableau les longueurs d’arcs sous-tendus (avec l’unitéπ/n), les autres colonnes donnant les numéros des points extrémités de ces cordes.
1 bn/4c −1 bn/4c
2k+ 1, 1≤k≤ bn/4−2c k 2n−k−1
2bn/4c −1 2n−2bn/4c 2n−1
2k+ 1, bn/4c ≤k≤2bn/4c −1 k+ 1 2n−k 2k, 1≤k≤ b(n−1)/2c n−k n+k
n n 2n
Exemple pour le casn= 21 : 1
Le diamètre vert donne la différence 21 entre les points 21 et 42 ; les cordes bleues donnent les différences paires de 2 à 20 entre les points 11 à 20 d’un côté, les points 22 à 31 de l’autre. Les points 32 et 41 donnent la différence 9. Les cordes orange donnent les différences impaires de 11 à 19 entre les points 6 à 10 d’un côté, les points 33 à 37 de l’autre ; on saute alors la différence 9 qui existe déjà, les différences impaires de 3 à 7 (cordes rouges) sont obtenues avec les points de 1 à 3 d’un côté, les points de 38 à 40 de l’autre. Les points restants 4 et 5 donennt la différence 1.
Lorsquenest impair et 2n+ 1 premier, on a aussi la construction suivante, d’un principe tout à fait différent. Les points étant numérotés selon leur ordre sur le cercle, on joint les paires de points de numéros r et (2r) (mod 2n+ 1), r parcourant les résidus quadratiques modulo 2n+ 1. 2 est non-résidu, et 2n+ 1 ne peut diviser une somme de deux résidus ; cela entraîne qu’il y a une corde par point, et elles sont toutes de longueur distincte.
11 et 19 étant premiers, on a ainsi comme listes de cordes par longueurs d’arcs (numéros d’extrémités entre parenthèses)
– pourn= 5 : 1(1-2), 2(7-9), 3(3-6), 4(4-8) ;
– pourn= 9 : 1(1-2), 2(15-17), 3(13-16), 4(4-8), 5(5-10), 6(6-12), 7(7-14), 8(3-11), 9(9-18).
Derniers cas à traiter :
– pourn= 4 : 1(1-2), 2(4-6), 3(5-8), 4(3-7) ;
– pour n= 8 : 1(1-2), 2(7-9), 3(12-15), 4(6-10), 5(3-14), 6(5-11), 7(4-13), 8(8-16) ; même résultat que la construction générale où on omettrait la seconde ligne du tableau.
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