A474 : Les cerfs-volants de Zig et Puce
On appelle par convention « Rabrentier » un triangle isocèle dont les côtés a issus du sommet, la base b, les rayons R et r des cercles circonscrit et inscrit sont tous des entiers naturels.
Zig et Puce ont construit chacun un superbe cerf-volant en accolant deux Rabrentiers de même base b dont les dimensions R,a,b et r s’expriment en millimètres.
Les deux cerfs-volants tout en étant différents sont inscriptibles dans un même cercle dont le rayon est le plus petit possible.Donner les dimensions respectives (R,a,b,r) des deux cerfs-volants.
Remarques préliminaires: dans un triangle pythagoricien, si la mesure de
l’hypoténuse est paire, celles des autres cotés le sont aussi (un carré impair est congru à 1 modulo 4, et un carré pair à 0: un carré pair ne peut être somme de deux carrés impairs. De plus, si dans un triangle rectangle, les mesures de deux cotés sont entières et la troisième rationnelle, ce rationnel est entier.
Enfin, à partir d’une solution, on peut en obtenir une infinité par homothétie.
Un cerf-volant est composé de deux «Rabrentiers» de mêmes R et b, de cotés a et a’
La grande diagonale est un diamètre du cercle circonscrit, donc a2+a’2=4R2 . Si h est la hauteur du triangle supérieur (celle du triangle inférieur est 2R-h), en écrivant l’aire de deux façons différentes, on obtient r(2a+b)=bh, donc h est rationnel ; de plus, 4a2=b2+4h2, donc 2h est un entier, pair car 2a est pair, donc h est entier; de plus b est pair (b=2c). Les triplets pythagoriciens (h,c,a) et (a,a’,2R) sont proportionnels, puisque les triangles sont semblables.
A partir du triplet (3,4,5) on obtient a=30, a’=40, R=25, h=18, h’=32 b=48, r=8, r’=12.
A partir du triplet (5,12,13) , a=130, a’=312, R=169, h=50, h’=288, b=240 r=24, r’=80.
Pour obtenir deux cerfs-volants de même rayon, il faut donc prendre R=25*169=4225 soit pour (R,a,b,r) (4225,5070,8112,1352) et (4225,3250,6000,600) respectivement.
