A474. Les cerfs-volants de Zig et Puce Problème proposé par Dominique Roux et Michel Texier On appelle par convention « Rabrentier » un triangle isocèle dont les côtés

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A474. Les cerfs-volants de Zig et Puce

Problème proposé par Dominique Roux et Michel Texier

On appelle par convention « Rabrentier » un triangle isocèle dont les côtés a issus du sommet, la base b, les rayons R et r des cercles circonscrit et inscrit sont tous des entiers naturels.

Zig et Puce ont construit chacun un superbe cerf-volant en accolant deux Rabrentiers de même base b dont les dimensions R, a, b et r s’expriment en millimètres.

Les deux cerfs-volants tout en étant différents sont inscriptibles dans un même cercle dont le rayon est le plus petit possible. Donner les dimensions respectives (R, a, b, r) des deux cerfs-volants.

Solution proposée par Claudio Baiocchi

Le rayon commun R vaut 25²; les valeurs (a, b, r) sont 25(15, 24, 4) et (175, 336, 7).

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Dans la suite tout cerf-volant sera supposé entier, à savoir (par rapport à une convenable unité) les

mesures des côtés et des diagonales sont entières. En particulier il ne s’agit pas d’un carré, ce qui autorise à parler de «diagonale majeure» et «diagonale mineure».

On se donne un cerf-volant et au départ, plus qu’aux deux Rabrentiers qu’on obtient en le coupant le long de la diagonale mineure, on va s’intéresser aux deux triangles rectangles (égaux) obtenus en coupant le cerf-volant par la diagonale majeure; les mesures de leurs côtés peuvent s’exprimer sous la forme

où f est le plus grand diviseur commun des mesures et les entiers p, q vérifient:

0<p<q; p+q est impair

et n’ont pas de facteurs communs. La hauteur du triangle par rapport à l’hypoténuse (qui est la moitié de la diagonale mineure b du cerf-volant) vaut f (2 p q) (q²- p²) / (q²+ p²). Puisque b est entier, f doit être un multiple de q²+ p²; donc, pour un g convenable, f = g (q²+ p²).

La diagonale mineure du cerf-volant mesure donc 2 g (2 p q) (q²- p²) et un simple calcul permet d’évaluer toutes les grandeurs en jeu: pour tout cerf-volant, à part un facteur d’échelle 2g, on a:

 les côtés mesurent (2 p q) (q²+ p²) et (q²- p²) (q²+ p²);

 les diagonales mesurent (q²+ p²)²et (2 p q) (q²- p²);

 les rayons des cercles inscrits dans les Rabrentiers mesurent 2 p² (q² – p²) et 2 p q(q – p)².

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En particulier le rayon circonscrit (qui est la moitié de la diagonale majeure) mesure 2 g (q²+p²)²; et on va utiliser le facteur d’échelle g pour permettre à deux cerfs-volants d’avoir le même rayon circonscrit. En fait, coupant les cerfs-volants de Zig et de Puce suivant la diagonale majeure on voit que cette diagonale doit être hypoténuse de deux différents triangles rectangles; il faut donc imposer cette restriction à la valeur 2R.

On sait que, dans le cadre de triangles à côtés entiers, une valeur H peut être hypoténuse d’au moins deux triangles rectangles si et seulement si H contient au moins deux (éventuellement coïncidents) facteurs premiers du type 4k+1; on a donc besoin d’un multiple de un des nombres :

 5 fois un parmi 5, 13, 17, 29, 37, …

 13 fois un parmi 13, 17, 29, 37, …

 17 fois un parmi 29, 37, …

 …

Par ailleurs, une fois choisi un de ces nombres, on devra fixer un facteur d’échelle g qui donne lieu à une mesure entière pour les correspondantes diagonale mineures; et, pour ça, on sait qu’il faut un multiple de l’hypoténuse du triangle primitif correspondant. Les premier cas correspondent à:

 H multiple de 5*5=25: triangles primitif (3, 4, 5) et (7, 24, 25); le g minimal vaut 25.

 ……

Les correspondantes valeur pour H sont 25², 65², 85², 145², 169², …, tous à doubler car notre hypoténuse H doit être de la forme 2R. On en déduit que le rayon minimal est R=25, ce qui correspond aux deux cerfs- volants:

 Côtés 750, 1000; diagonales 1200, 1250; rayons des Rabrentiers 200 et 300.

 Côtés 350, 1200; diagonales 672, 1250; rayons des Rabrentiers 48 et 252.