D1917. Une parure diophantienne
Problème proposé par Dominique Roux
Une parure est constituée de anneaux circulaires en or de même rayon , alignés les uns à la suite des autres et tangents deux à deux comme le montre l’illustration ci-après. Quand on tend deux fils dorés entre l’extrémité du premier anneau et les deux points de tangence et du dernier anneau, leurs points d’intersection avec les – premiers anneaux déterminent – paires de cordes et pour – .
Trouver le plus petit nombre d’anneaux et le plus petit rayon exprimé en nombre entier de millimètres tels qu’il existe exactement 2 paires de cordes parmi les – dont les dimensions s’expriment aussi en nombres entiers de millimètres.
Mêmes questions s’il y a exactement 3 et 4 paires de cordes de dimensions entières.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On commence par un petit rappel sur les triangles pythagoriciens, à savoir les triangles rectangles dont tout coté est un entier. Pour les résultats qu'on va rappeler on peut par exemple consulter l'article de Weisstein, en particulier la formule (29).
Pour tout entier on veut évaluer le nombre de triangles pythagoriciens dont la
longueur de l'hypoténuse vaut . Pour cela on commence à chercher les facteurs premiers de de la forme ; et on groupe les puissances de ces facteurs en les séparant des autres termes de la factorisation. Il s'agit donc de représenter sous la forme où
les nombres premier étant de la forme et les de la forme .
Avec ces notations, le nombre de triangles rectangles à côtés entiers dont la longueur de l'hypoténuse vaut est indépendant de et vaut:
Se bornant au cas de , pour tout , les nombres sont hypoténuse de triangles pythagoriciens. Pour et il s’agit de l’unique possibilité mais en général, toujours avec , d’autres cas peuvent se présenter; notamment dans le cas , où on peut aussi choisir les hypoténuses du type On va détailler les hypoténuses les plus petites correspondant à 2, 3, 4 triangles; on remarquera que, les hypoténuses étant impaires, les cathètes ont parité différente:
Hypoténuse Triangles
25
125
65 Revenons à notre problème. Pour on notera le point-milieu de la corde
et le centre du cercle correspondant; la distance de à la corde vaut où est l’angle en du triangle rectangle de sommets ; cet angle ne dépend pas de et son sinus coïncide avec le sinus de l’angle en du triangle rectangle de sommets où est le centre du dernier cercle; on a donc
, ce qui permet d’évaluer la longueur de la corde :
Cette longueur peut être rationnelle seulement si est l’hypoténuse et est un cathète d’un triangle rectangle; ensuite un bon choix de rendra entier ce nombre. D’après ce qu’on a vu sur les triangles pythagoriciens, les valeurs les plus petites de tels que à
l’hypoténuse correspondent 2, 3 ou 4 valeurs pour le cathète impair correspondent à:
2 triangles: , cathètes impairs ou ; donc et:
o donc et la corde mesure o donc et la corde mesure
ce qui force multiple de ;
3 triangles: , cathètes impairs ou ; donc et:
o donc et la corde mesure
o donc et la corde mesure o donc et la corde mesure
ce qui force multiple de 125;
4 triangles: , cathètes impairs ou ; donc et:
o donc et la corde mesure o donc et la corde mesure
o donc et la corde mesure o donc et la corde mesure
ce qui force multiple de 65.
On peut donc résumer, toute mesure étant en millimètres:
Pour : et ,
Pour : et , ,
Pour : et , , ,
