A561 – Cubes à gogo [*** à la main]
Q₁ Trouver le petit entier naturel dont le cube se termine par 0987654321.
Q₂ Trouver les couples (p,n) avec p nombre premier et n entier naturel ≥1 tel que pⁿ est la somme de deux cubes parfaits.
Q₃ Trouver le plus grand entier naturel positif qui est égal à la somme des chiffres de son cube.
Solution proposée par Daniel Collignon
Q1 : 2*19*53 = 2014 = x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) avec 0<y<x Posons x-y=k et k(x²+xy+y²)=2014, d'où 3y²+3yk+k²-2014/k=0.
Comme 0 < x-y < x²-y² < x² < x²+xy+y², 4 cas sont à vérifier k=1, 2, 19, 38, mais aucun ne fournit une valeur entière pour y.
2013 conduit à la même conclusion que 2014, contrairement à 2015 = 14^3 - 9^3.
Q2 :
x^3 + y^3 = p^n avec 0<=y<=x
Si y=0, alors x^3 = p^n et alors x=p^k et n=3k (mais je soupçonne que ce cas n'était pas dans l'esprit de l'énoncé, il faut certainement
comprendre positif comme strictement).
Si x=y, alors 2x^3 = p^n et alors p=2, x=2^k et n=3k+1
A présent cherchons 0<y<x, de sorte que x+y = p^k et x²-xy+y² = p^(n-k) avec 0<2k<=n puisque 3<= x+y < x(x-y)+y²
Si q premier divise x et y, alors q divise p^n et donc q=p.
Si d=pgcd(x,y), alors d^3 divise p^n, de sorte que d=p^j avec 0<=3j<=n.
Alors x'=x/d et y'=y/d sont solutions de x'^3 + y'^3 = p^(n-3j) Cherchons une solution primitive au sens telle que pgcd(x,y)=1.
Puisque p divise x+y et x²-xy+y² = (x+y)^2-3xy, alors p divise 3xy et donc p=3.
Alors y²-y*3^k+3^(2k-1)-3^(n-k-1)=0
Si k=n-1, alors delta = 4-3^(2n-3) et la seule solution est n=2 avec y=1 et x=2.
Sinon 3 divise y^2, donc y, mais alors 3 divise x^3 = 3^n - y^3, donc x.
Finalement les couples (p,n) sont : (2,3k+1) et (3,3k+2).
Q3 : 27 = 1+9+6+8+3
Si 10^n <= x < 10^(n+1), alors x^3 < 10^3(n+1), de sorte que 10^n <=
x=s(x^3) < 27(n+1) et n<=1.
Pour les vérifications, on se limite aux entiers congrus à 0, 1 ou 8 modulo 9 (car modulo 9, x congru à s(x), donc x congru à x^3) La liste complète est référencée http://oeis.org/A046459
