A330 – Questions d’équilibre [**** à la main]
Un entier est dit « équilibré » si parmi deux chiffres consécutifs quelconques de sa
représentation décimale l’un est pair et l’autre est impair. Par exemple 187830 est un entier équilibré. A contrario, un entier est dit « déséquilibré » s’il existe au moins deux chiffres consécutifs de sa représentation décimale qui ont la même parité, par exemple 887831.
Solution proposée par David Amar
Question 1. Trouver le plus petit multiple de 2011 qui est équilibré.
Remarque préliminaire: on considèrera que par "entier équilibré", on sous-entend "non nul".
Autrement, zéro étant considéré comme multiple de tout nombre, le problème n'aurait pas de sens
On cherche un nombre N de la forme N = 2011.k équilibré, k étant le plus petit possible.
k N
1 2011
2 4022
3 6033
4 8044
5 10055
6 12066
7 14077
8 16088
9 18099
10 20110 11 22121 12 24132 13 26143 14 28154 15 30165
La réponse est 30165. Les nombres de la forme 2011.k avec k<15 ne sont pas équilibrés.
Question 2. Trouver l’entier le plus proche de 2011 dont tous les multiples sont déséquilibrés.
Pour tout entier N > 2011, on cherche un entier k tel que N.k soit équilibré.
N k N.k
2012 91 183092
2013 25 50325
2014 74 149036
2015 7 14105
2016 81 163296
2017 19 38323
2018 61 123098
2019 17 34323
Pour N=2020 par contre, on sait que tout multiple de N aura pour chiffre des unités « 0 », et pour chiffre des dizaines un multiple de 2, autrement dit ses deux derniers chiffres sont pairs.
Aucun de ses multiples ne sera donc équilibré.
Question 3. Trouver tous les entiers dont au moins un multiple est équilibré.
Nous allons démontrer le résultat suivant :« un nombre admet un multiple équilibré si et seulement s'il n'est pas multiple de 20 ».
A. Le sens trivial : N=20k n'admet pas de multiple équilibré
On remarque que pour N=20, tout multiple de N aura pour chiffre des unités « 0 », et pour chiffre des dizaines un multiple de 2. Autrement dit aucun de ses multiples ne sera équilibré.
Le multiple d’un multiple de N étant aussi un multiple de N, tout multiple de 20 n’admet pas de multiple équilibré.
B. La réciproque : Tout nombre N non nul modulo 20 admet un multiple équilibré
On va commencer par démontrer quelques résultats intermédiaires.
Proposition 1: toute puissance de 5 admet un multiple équilibré.
Démonstration
Soit n et P deux entiers tels que P=5^n. On note M un multiple de P, et pour commencer M=P. On effectue sur M l'algorithme suivant:
(petite précision: on numérote les positions à partir de 0 et non pas 1)
1) On considère le chiffre M, et on part des unités, on cherche le premier chiffre de même
parité que le chiffre à sa droite. on notera ce chiffre comme étant le k-ième.
NB: s'il n'y en a pas, M est équilibré.
2) Si k est supérieur ou égal à n, on passe en 3. Sinon, on calcule M' = M + P.10^k; puis on
reprend en 1 avec M'.
NB : si M est un multiple de P, alors M’ aussi puisque P=5^n.
3) On supprime tous les chiffres de M à partir du n-ième
NB : Si n<k, 10^k = (5^k)(2^k) =5^(k-n)(5^n)(2^k) est un multiple de P ; donc on ôte de M des multiples de P
Explications
1) P finit par un 5 (comme toute les puissances de 5), et ajouter 5 à un chiffre change sa
parité.
Du coup, dans un premier temps, on ajoute à M le nombre P suivi d'un certain nombres de 0, pour changer la parité d'un chiffre donné, tout en conservant la parité des chiffres à sa droite.
Cependant, cette méthode peut ne jamais se terminer, étant donné qu'on peut ajouter de plus en plus de chiffres à gauche de notre nombre.
(On prendra par exemple 1129, qui n’est certes pas un multiple de 5, mais qui montre bien que cette méthode va générer des nombres de plus en plus grands sans jamais tomber sur un nombre équilibré)
2) Une fois qu’on a « équilibré » les n derniers chiffres de M, on supprime tous les chiffres suivants : si M est un multiple de P, il le restera si on lui ôte un autre multiple de P. Comme 10^k avec n<k est un multiple de P, la décomposition en somme de puissances de 10 de notre nombre nous permet de voir que tous les chiffres suivants sont inutiles.
Exemple: 5^8 = 390625
390625: 2 derniers chiffres équilibrés
390625 + 39062500 = 39453125: 3 derniers chiffres équilibrés 39453125 + 390625000 = 430078125: 6 derniers chiffres équilibrés
430078125 + 390625000000 =391055078125: 7 derniers chiffres équilibrés
391055078125 + 3906250000000 =4297305078125: 9 derniers chiffres équilibrés, on garde les 8 premiers
Un multiple équilibré de 390625 est donc 390625*13 = 5078125
Proposition 2: toute puissance de 2 admet un multiple équilibré.
Démonstration
Soit n et P deux entiers tels que P=2^n. On note M un multiple de P, et pour commencer M=P. On ne peut pas effectuer le même algorithme que précédemment, pour une raison simple : le chiffre des unités de P est pair, alors qu’il valait 5 dans la proposition 1. Du coup, ajouter P suivi de zéros ne modifie pas la parité du chiffre qu’on voudrait atteindre.
On va donc légèrement modifier l’algorithme précédent :
0) Si la parité des deux derniers chiffres de P est différente, on note Q=P ; sinon si le
chiffres des unités de P est 2, on note Q=6P ; si c’est 4, Q=3P ; si c’est 6 ou 8, Q=2P
1) La même que précédemment
2) Au lieu d’ajouter P.10^k, on calcule M' = M + Q.10^(k-1)
3) La même que précédemment
Explications
1) Dans un premier temps, on calcule un multiple Q de P dont les deux derniers
chiffres sont de parité différente. Si c’est le cas de P, alors P=Q. Sinon, c’est que les deux derniers chiffres de P sont pairs. Dans ce cas :
a. Si le dernier chiffre de P est 2, alors celui de 6P est aussi 2, et le chiffre
des dizaines de 6P vaut 6 fois un nombre pair, plus une retenue (6*2=12), il est donc impair.
b. Si c’est un 4, on prendra Q=3P pour les mêmes raisons
c. Pareil, si c’est un 6 ou un 8, on prendra Q=2P
2) Ce nombre Q est donc terminé par un chiffre pair, précédé d’un chiffre impair. On
ajoute le nombre Q suivi d'un certain nombres de 0, pour changer la parité d'un chiffre donné, tout en conservant la parité des chiffres à sa droite. Cette méthode est
légèrement différente de celle vue précédemment, car :
a. On ajoute un zéro de moins que pour les puissances de 5 : il s’agit
d’ajouter le chiffre des unités (pair) de Q à un chiffre dont on ne souhaite pas changer la parité, et le chiffre des dizaines (impair) de Q au chiffre dont on souhaite changer la parité.
b. Cette étape ne marche pas systématiquement. En effet, en ajoutant un
chiffre pair au chiffre à droite de notre cible, il se peut qu’on obtienne un résultat supérieur à 10 et donc qu’on ajoute une retenue au chiffre dont on
vient de changer la parité. Cependant, on peut montrer qu’en au plus 5 étapes répétées, la parité du nombre aura bien changée : le chiffre des unités de Q est 2, 4, 6 ou 8 ; en ajoutant ce nombre 5 fois on ajoute aux unités au plus 5*8 = 40 ; ce qui signifie que 4 opérations auront généré une retenue sur les 5 ; il y aura donc forcément eu une opération sur les 5 qui aura changé la parité de notre chiffre « cible »
3) La suite est la même que pour les puissances de 5, car 10^n est aussi un multiple
de 2^n
Exemple: 2^10 = 1024 Q = 1024*3 = 3072
1024: dernier chiffre équilibré
1024 + 3072 = 4096: 3 derniers chiffres équilibrés 4096 + 307200 = 311296: 4 derniers chiffres équilibrés 311296 + 3072000 = 3383296: 6 derniers chiffres équilibrés 3383296 + 307200000 = 310583296: 8 derniers chiffres équilibrés
310583296 + 30720000000 = 31030583296: 10 derniers chiffres équilibrés , on garde les 10 derniers
Un multiple équilibré de 1024 est donc 1024*1006429 = 1030583296
Proposition 3: Pour toute séquence de chiffres tout nombre N admet un multiple dont l'écriture décimale est composé de cette séquence un certain nombre de fois puis d'une suite de zéros.
Démonstration
On note S notre nombre séquence, k le nombre de chiffre de S et on considère la suite U définie de la manière suivante:
U1 = S
Un+1 = 10^k.Un + S
Les termes de cette série s'écrivent en accolant S n fois ; par exemple pour S=123, les premiers termes sont 123, 123123,123123123, ...
NB : on peut ajouter une série de zéros non significatifs à S, k en sera d’autant plus grand.
Soit un entier N quelconque, on considère les N+1 premiers termes de U, modulo N.
Il y a N valeurs possibles modulo N, doncd'après le principe des tiroirs, il existe i et j différents tels que i > j et Ui = Uj modulo N.
Autrement dit, Ui-Uj est un multiple de N, et son écriture décimale est constituée de la séquence S répétée i-j fois, suivie de j*k zéros.
(exemple pour S=123, N=7, la suite des modulos est 4,0,4,...; donc 123123123- 123=123123000 est un multiple de 7, c'est en effet 7*17589000)
Arrêtons-nous là pour les propositions intermédiaires, on a maintenant tout ce qu’il nous faut.
Soit un nombre N non nul modulo 20.
Cas 1. N=1, 3, 7, 9, 11, 13, 17 ou 19 modulo 20.
Autrement dit, N est premier avec 10 car il est impair et non multiple de 5. Grâce à la
proposition 3 et en prenant une série S = 21 par exemple, on peut trouver un multiple M de N qui s’écrive avec une série de chiffres 2 et 1 alternés, suivie d’une série de zéros. Autrement dit, M = A.10^q, où A est la série de 2 et de 1, les zéros finaux étant regroupés sous 10^q.
Or, N est premier avec 10, donc si N divise M, alors N divise A.
N admet donc un multiple qui s’écrit sous forme d’une série de 2 et de 1 alternés ; et qui est du coup équilibré.
NB : on notera pour la suite que le chiffre des unités de M est 1
Cas 2. N=5 ou 15 modulo 20.
Autrement dit, N est un multiple de 5 impair. On peut donc noter N=A.5^q, où A est impair et premier avec 5.
Grâce à la proposition 1, on trouve un multiple M de 5^q équilibré.
NB : on notera pour la suite que le chiffre des unités de M est 5
Le dernier chiffre de M est 5 donc impair, si le premier est pair on note S = M ; sinon S=0M (comprendre : on ajoute un zéro non significatif à M)
Grâce à la proposition 3, on peut donc trouver un multiple M’ de A qui soit une suite de S, suivie d’une série de zéros ; zéros que l’on peut supprimer comme dans le cas 1 car A est impair et premier avec 10
M’ est donc un multiple de A (par construction) et de 5^q (car 5^q se répète dans ce nombre, éventuellement séparé par un zéro pour une question de parité, le résultat de M’/5^q est de la forme 100..00100…00100..001
N admet donc un multiple M’ équilibré.
NB : on notera pour la suite que le chiffre des unités de M’ est aussi 5
Cas 3. N=10 modulo 20.
Autrement dit, N est un multiple de 10 dont le chiffre des dizaines est impair. On peut donc noter N=10Q, où Q est impair.
Grâce aux cas 1 et 2, on peut trouver un multiple M de Q équilibré (dans le cas 1 il finira par 1, dans le cas 2 par 5, d’où les NB en fins de cas).
N admet donc un multiple 10M équilibré (le dernier chiffre de M étant impair, on peut lui accoler un zéro sans casser l’équilibrage)
Cas 4. N=2, 4, 6, 8, 12, 14, 16 ou 18 modulo 20.
Autrement dit, N est pair et non multiple de 5. On peut donc noter N=A.2^q, où A est impair et premier avec 5.
Grâce à la proposition 2, on trouve un multiple M de 2^q équilibré.
Le dernier chiffre de M est pair (comme tout multiple d’un nombre pair), si le premier chiffre de M est impair on note S = M ; sinon S=0M (comprendre : on ajoute un zéro non significatif à M)
Comme pour le cas 2, on construit maintenant un multiple M’ de A constitué de la série S répétée autant de fois que nécessaire, pour trouver un multiple de N
N admet donc un multiple M’ équilibré.
Exemple de construction pour illustrer tout ça: trouvons un multiple équilibré de 271875 71875 = 23 * 5^5
5^5 = 3125 : 3 derniers chiffres équilibrés
3125 + 3125000 = 3128125 : 4 derniers chiffres équilibrés 3128125 + 31250000 = 34378125 : 5 derniers chiffres équilibrés 78125 est un multiple de 3125 équilibré (25*3125)
On cherche maintenant un multiple de 23 qui s'écrit 781250781250781250…781250000…000
Par le calcul des modulos, on trouve
78125078125078125078125078125078125078125078125078125078125078125 (qui vaut 71875 *
1086957608696739131521740217392391305434783695653260870652175) Bon ok, 71875*6 = 431250 est bien plus petit et tout aussi équilibré, mais bon :)
