D10524. Parallélisme et convergence
On donne deux triangles abc, a0b0c0 d’un même plan. Les droites bc etb0c0 se coupent en A;A0 est l’intersection de la parallèle àbc menée par a et de la parallèle à b0c0 menée par a0. Les points B, B0, C, C0 sont définis de façon analogue. Montrer que AA0, BB0, CC0 sont concourantes.1
Solution de Jean-Nicolas Pasquay
1. Exercice proposé dans le livre “Premiers principes de géométrie moderne”, d’Ernest Duporcq (2e édition, 1912).
Pour définir complètement une transformation homographique (TH) dans le plan, qui fait correspondre au triangleabc(1ère figure) le trianglea0b0c0 (2e figure), il faut se donner un couple additionnel de points homologues.
Au point à l’infini de la droite bc (//aA0) faisons correspondre le point à l’infini deb0c0 (//a0A0). De ce fait, en raison de l’identité des constructions de A0, B0, C0, les points à l’infini deab et a0b0 ainsi que du couple ac, a0c0 sont également homologues dans la TH. En raison de la correspondance des points à l’infini, le point A0 considéré comme appartmnant à la 1ère figure a pour homologueA0 de la 2e figure, avecA0 distinct deA0. Le point A0 appartient àa0A0, mais sa position est sans intérêt pour la suite.
Les droites homologues de la TH issues respectivement deaeta0se coupent en des points appartenant à une conique (X) passant paraeta0((théorème classique : le lieu des points communs aux rayons homologues de deux faisceaux homographiques d’un même plan est une conique).
Les droites homologues sont : ab et a0b0 qui se coupent en C, ac et a0c0 qui se coupent en B, aA0 et a0A0 qui se coupent en A0. (X) est donc définie para, a0, C, B, A0.
De même, au moyen des droites homologues issues debetb0 on définit une conique (Y) avecb, b0, C, A, B0.
Au moyen des droites homologues issues de cet c0 on définit une conique (Z) avec c, c0, A, B, C0.
C est point commun aux coniques (X) et (Y) qui se coupent en 3 autres points réels ou imaginaires, dont le point réel est noté iAB. Les couples de droites homologues (aiAB, a0iAB) et (biAB, b0iAB) montrent queiAB est un point double de la TH (2 autres points doubles imaginaires).
Considérant les points iAC et iBC, on conclut que iAB =iAC =iBC = i, point double de la TH (1).
iappartient aux trois coniques (X),(Y),(Z).
SoitiXA l’intersection autre queA de AA0 avec (X). Dans la TH,aiXA a pour homologuea0iXA (2).
Soit iY B l’intersection autre que B de BB0 avec (Y). Dans la TH, aiY B a pour homologue a0iY B (3).
Il résulte des propriétés (1), (2), (3) que i=iXA=iY B.
Ainsi l’intersection des droites AA0 et BB0 coïncide avec iqui appartient aux 3 coniques. De même l’intersection des droites AA0 et CC0 coïncide avec i.
Les droites AA0, BB0, CC0 concourent donc enicommun aux 3 coniques.
On passe du triangleABCau triangleA0B0C0 par une homologie de centre i.
Nota. L’homologie est une TH particulière, dans laquelle il y a une infinité de points doubles appartenant à l’axe d’homologie. Comme démontré ci- dessus une TH comporte 3 points doubles, sauf s’il s’agit d’une homologie.
