Examinons enfin le triangle [Figure 3 ci-dessus]

D 1845. Six points remarquables. *****

Démontrer qu'on sait trouver six points du plan X1, Y1, Z1, X2, Y2, Z2 tels que les huit triangles XiYjZk sont tous semblables avec 1 ≤ i, j, k ≤ 2.

Application numérique : on choisit les coordonnées de X₁ (0,0) et de Y₁ (10⁹,0). Le sommet Z₁ est situé dans le quadrant des coordonnées strictement positives avec Z1X1 ≤ Z1Y1. Déterminer les longueurs des côtés Z1X1 et Z1Y1 à l'entier le plus proche.

Solution proposée par Michel Lafond

Considérons le triangle T de côtés [Figure 1 ci-dessous]

On calcule facilement

On calcule ensuite :

On tire Par conséquent

On en déduit

Construisons maintenant 4 triangles T accolés comme dans la figure 2 ci-dessous :

D’après (1) et (2) on a :

B A

C

1

2

Figure 1

Le triangle avec son angle en et ses côtés est donc semblable à T.

On en déduit . De plus la mesure de l’angle est α.

Examinons enfin le triangle [Figure 3 ci-dessus].

D’après (2) .

L’angle et les côtés montrent que le triangle est semblable T.

I étant centre de symétrie de la figure 3, les triangles et sont eux aussi semblables à T.

La figure complète est visible ci-dessus [Figure 4]

On a donc si comme dans l’énoncé, alors

et

2

2

2